Уж незнаю что вы хотите сделать, но вот такой разметки хватит на что угодно.
И БЭМ это не способ именования классов. Нужно смотреть еще css, скорее всего именно там самые серьезные ошибки.
<ul class="menu">
<li class="menu__item"><a href="#">Пункт</a></li>
<li class="menu__item menu__item_active"><a href="#">Пункт</a></li>
<li class="menu__item menu__item_submenu">
<a href="#">Пункт с подменю</a>
<div class="menu__submenu">
<ul class="submenu">
<li class="submenu__item"><a href="#">Пункт подменю</a></li>
<li class="submenu__item"><a href="#">Пункт подменю</a></li>
<li class="submenu__item submenu__item_active"><a href="#">Пункт подменю</a></li>
</ul>
</div>
</li>
<li class="menu__item">Пункт</li>
</ul>
В хедере располагается три других блока: logo, menu и info.
Я так понял вы подхватили болезнь БМ, новички всегда в это вляпываются
<div class="header">
<div class="header__logo">
<div class="logo"></div>
</div>
<div class="header__menu">
<div class="menu"></div>
</div>
<div class="header__info">
<div class="info"></div>
</div>
</div>
