pindschik

Дешевый кабель бывает без цветов на белом, но ПОПАРНО они все равно скручены правильно (голубой-белоголубой). Если не лезет - то скорее всего у него AWG такой. Возьмите коннекторы Cat6 - в них отверстия ширее.
Экранированный кабель надо обжать в экранированный коннектор.
Если соединять землю не нужно - то в обычный.
Прежде чем соединять землю - раскурите про шаговое напряжение и заземление зданий. Там есть нюансы, которые надо понимать, чтоб не выжечь все оборудование с помощью (ВНЕЗАПНО) заземления.

Например пробрасываете порты 80 и 443 на одну машину, на которой ставите IIS и им проксируете трафик сайтов. Он умеет разбирать, что пришло для кого - по адресу сайта из запроса.
Второй способ - тоже IIS, при посещении нужного сайта выдаете браузеру посетителя "форвард" на новый порт. На новом порту - делаете проброс уже прямо на нужный IP.

Можно. Это нечестно и местами незаконно. Раскурите про то, как обходить блокировку раздачи безлимитного сотового интернета. От провайдера к провайдеру - разный набор заморочек.
Чисто теория, не для применения, вкратце:
1 Нужен роутер с USB и USB 4G модем.
2 Возможно потребуется подмена IMEI в модеме на номерок от Виндовсфона.
3 Правка TTL на роутере у входящих и/или исходящих пакетов - т.к. провайдер их тоже хитро правит и анализирует.
4 Весь трафик заворачивать в свой VPN канал (где-то взять). Тогда провайдер не увидит торентов.

Но даже если вы обойдете технически все средства блокировки раздачи - провайдер увидит ваш ГИГАНТСКИЙ трафик и может его "подкрутить". А если он не гигантский - то игра не стоит свеч.

С пробросом видеокарты в терминальную сессию Windows ничего не выйдет. Во всяком случае в разумную стоимость. Идею поиграть с любого слабого г... или с работы - на своем уютном домашнем сервачке придется забыть.
Ну так задумано магнатами железа и софта. Это решение за отдельные деньги.
С остальным проблем не будет.
Если хочется смотреть видосики в терминале - то нужен 4-х ядерный проц в сервере. Пережатие видео перед отправкой пойдет в лоб, через боль.
С балконом будут проблемы зимой (мороз). С застекленной лоджией будут проблемы летом (жара). Лучшее место - уличный холодильник под окном кухни (если имеется), с забором воздуха с улицы.

Приставка - телевизионная IPTV? Если да, то:
1 На роутерах (домашних) часто есть функция выделения одного из портов для IPTV. Врубаем, втыкаем.
2 Или - покупаем за 350 руб самый любой свич. Втыкаем его ПЕРЕД роутером, приставку втыкаем в него, роутер тоже в него.

Если приставка - это типа плейстейшн - то никак.
Подвести один IP на 2 устройства нельзя (с серверами еще иногда можно, но с приставками - нет).

В сети, я так полагаю, есть роутер и на нем проброшены внешние порты на Апач? Если да - то на роутере посмотрите внимательно настройки проброса. Он должен пробрасывать со всех направлений, просто с внешнего IP.
После чего из локальной сети сайт будет открываться точно так же, как и из любой другой. Просто открываться. По адресу сайта.

Решение "в лоб", независящее от моделей роутеров только одно:
1 Первая сеть остается как есть, и ее роутер (№1) подключается к Интернет.
2 Вторая сеть втыкается в "первую":
2.1 На роутере №1 уточняем длину диапазона DHCP (чтоб не оказался на 10 адресов), если что - увеличиваем в соответствии с общим числом проводных и беспроводных клиентов ОБЕИХ сетей.
2.2 Желательно, но необязательно роутеру №2 (второй сети) сменить IP на 192.168.1.2 (должен быть свободен) - просто чтоб потом его можно было админить.
2.3 Обязательно отключаем DHCP на роутере №2.
2.4 Тянем кабель от роутера №1 к роутеру №2. Втыкаем его в ОБОИХ роутерах в порты LAN (не WAN) (в обоих). На втором роутере порт WAN - остается свободен.
2.5 По желанию - расторгаем договор по подключению точки №2.
3 PROFIT. Получаем сплошное адресное пространство 192.168.1.* во всей сети. Трафик идет локально.

Сложный вариант:
1 Покупаем роутеры с поддержкой IPSec (например Zyxel серии Keenetik), ничего не меняем, не переподключаем, интернет оставляем на обеих точках.
2 Настраиваем "мышкой" на обоих IPSec друг на друга.
3 PROFIT. Сети разные, трафик идет через Интернет.

Еще есть вариант с прокси-сервером, если нужен только браузер.