Если тебе просто нужна INLINE кнопка с текстом и ссылкой на сайт без callback и т.п.

bot.send_message(message.chat.id, "Привет, {0.first_name}! Нажми на кнопку и перейди на сайт)".format(message.from_user), reply_markup=markup)kup)

Попробуй

bot.send_message(message.chat.id, f'Привет, {0.first_name}! Нажми на кнопку и перейди на сайт)', reply_markup=markup)

Как бы делал я. Хотя я джунище еще то и знаю не все методы, любитель велосипедов. Так вот.

1. Подключил бы библиотеку sqlite3 к сайту (PHP) и боту (Python c aiogram).
2. На странице заполнения формы, данные вносятся в БД (тут шамань сам под свои данные). Ну и есть колонка в которой будут 3 значения: None, Да, Нет. По умолчанию None
2. После отправки сообщения на странице как ты написал "ожидания" написать скриптик, которые каждые к примеру 3 секунды проверяет на изменение колонки с None, на Да или Нет. Ну и функция если Да то туда, если Нет то туда.
3. Переходим к боту. С помощью asincio вывел бы функцию, которая каждые 3 секунды проверяет БД на новые записи и если есть отправляет сообщение куда тебе надо (увязанное с той строкой, которая заполнена по форме) с INLINE кнопками Да или Нет. При нажатии Да - запись в ячейку Да, нажал Нет - запись Нет

Не знаю поймешь ли ты меня, но такое реализовать не сложно имея базовые знания, как у меня :)

Может за ответ и не пойдет, но если тебе нужно, чтобы каждые 10 секунд выполнялась асинхронная функция, то я бы это делал с помощью asyncio

import asyncio

async def example():
    while True:

        #ТУТ ВЫПОЛНЯЙ ЛЮБЫЕ ДЕЙСТВИЯ, КОТОРЫЕ БУДУТ ПОВТОРЯТСЯ В ЗАДАНОМ ИНТЕРВАЛЕ (интервал ниже)

        await asyncio.sleep(10) #10 СЕКУНД 

if __name__ == '__main__':
    loop = asyncio.get_event_loop()
    loop.create_task(example())

Работает самостоятельно, как ты говоришь "вне основного цикла"