Алексей Со

Никак

На продашене не должно быть лишнего софта

Если сильно нужно - пускайте руками

Если вы не профи, то почитайте про inotify incron

как без рута вытащить лог с ошибками с телефона

Разрешить на нем отладку по USB, подключить его по USB к компьютеру, и там смотреть LogCat, для этого есть утилиты, или можно самому написать по-быстрому.

Почему бы вообще не отказаться от HTTP в пользу голого TCP (или WebSockets - тогда для сервака идеален NodeJS)?
Клиент подключается к серваку - и соединение просто остается открытым. Сервак через xxx времени отправляет пакет - клиент его тут же получает, при этом соединение по-прежнему открыто. Также и наоборот (клиент - серваку).

Сомневаюсь, что можно придумать для сетевого обмена что-то лучшее по производительности, чем голый TCP.
Если кто-то знает вариант лучше - внимательно выслушаю и буду благодарен.

Comet, нет не пробовали? У меня работает, переподключаться, правда все равно приходится, но таймаут можно сделать и 3 минуты, играет роль, только при разрыве соединения одной из сторон, когда вторая сторона этого не опознает. Все данные приходят моментально! Можнт держать и миллион соединений одновременно.
Реальзацию comet для вашего фреймворка ищем в гугле по слову comet + <фреймворк>
У меня примерно так:

from twisted.internet import reactor

class MyRequestHandler(web.RequestHandler):
    @web.asynchronous
    def get(self):
        self.write("Processing your request...")
        reactor.callLater(5, self.do_something)

    def do_something(self):
        self.finish("done!")

Начни отсюда https://android.googlesource.com/platform/packages...
Это исходники встроенных приложений. Там есть очень изящные решения и качество кода высокое.

Что-то сильно дофига выделено под корень /
10-15GB обычно с головой хватает.

Можно примонтировать его вместо /home и перенести туда все сайты, но в таком случае весь смысл ssd теряется.
Я бы вынес на HDD симлинками только "толстые" папки сайтов, например с аплоадами.

Папки /home стало мало под сайты.

Полагаю, смонтировать новый диск туда, где сайты, и перенести данные на него.

Вставил диск 1ТБ - могу ли увеличить раздел home за счет нового диска? если да, то как? подскажите пожалуйста.

Вот прямо вот так нельзя, если только вы не используете BTRFS, там можно конвертнуть в RAID, и на лету прицепить ещё один диск. А так вам нужно программный RAID настроить между двумя разделами, если не хотите связываться с BTRFS (хотя с ним всё вообще тривиально решается) - попробуйте mdadm, правда не знаю как последний отреагирует на разные размеры.

В целом судя по всему у вас основной диск маленький, просто смонтируйте новый в /home да и всё. Это:
0) остановить веб-сервер или что там у вас использует /home
1) отформатировать новый диск
2) смонтировать новый диск куда-то
3) перенести на новый диск данные /home
4) переименовать /home во что-то, создать пустую /home
5) размонтировать новый диск
6) прописать в /etc/fstab монтирование нового диска в /home
7) mount -a
8) всё, можно запускать обратно

Как смонтировать жесткий диск в раздел другого жесткого диска?

Смонтировать можно что угодно куда угодно. Создаёте каталог, и туда mount нового диска.

Допустим если у вас /dev/sdX1 примонтирован к /home, можно создать в /home любой каталог:
mkdir /home/something
И затем примонтировать /dev/sdY1 туда:
mount /dev/sdY1 /home/something
Теперь содержимое каталога /home/something будет отражать содержимое раздела /dev/sdY1

Вставил диск 1ТБ - могу ли увеличить раздел home за счет нового диска?

Увеличить физически раздел с помощью другого диска нельзя.