Мы долго искали похожий функционал, в итоге либо что-то не на React брать и писать обёртку (либо использовать готовую), либо draftjs (в котором, кстати, миллион багов). Если что-то найдёте, напишите, пожалуйста здесь. Подписался :)
Очевидно, либо передавать с сервера уже обработанное время (то есть текстом, например), либо с сервера передавать время открытия страницы, на клиенте при загрузке считать разницу между клиентом и сервером и при каждом выводе времени компенсировать эту разницу.
В moment можно даже переопределить текущее время и просто сделать его равным времени сервера.