1. Права на исполнение файла группе "staff":
Дать права группе "staff":
chown :staff /home/user/scripts/script.sh
Дать права на запуск группе:
chmod g+x /home/user/scripts/script.sh
Дать права на запуск всем (в том числе группе):
chmod a+x /home/user/scripts/script.sh
2. Право на изменение файла пользователю "user":
chown user /home/user/scripts/script.sh
chmod u+rw /home/user/scripts/script.sh
3. Право на чтение файла группе "staff":
chown :staff /home/user/scripts/script.sh
chmod g+r /home/user/scripts/script.sh
4. Право на изменение и создание файлов в каталоге ~/scripts группе "staff":
chown -R :staff /home/user/scripts
chmod -R g+rw /home/user/scripts
Подробности здесь:
man chown
man chmod