Так, более или менее понятно.
1) собираете war-файл, с вашими jar и web.xml
2) качаете tomcat с apache org
3) устанавливаете его и запускаете
4) заходите на его порт через браузер и смотрите, что он запустился
5) кладете свой war-файл в томкат (место куда конкретно класть погуглите)
5.1) заходите на ваше приложение /имя-war-файла-без-расширения
6) идете сюда и читаете, как сделать ваше приложение по умолчанию
https://tomcat.apache.org/tomcat-8.0-doc/config/co...
7) смотрите в лог томката на наличие ошибок
Да, публиковать в томкат можно и удаленно, через web-интерфейс. Гуглите и читайте в документации
https://tomcat.apache.org/tomcat-8.0-doc/deployer-...