для каждого клиента должна создаваться отдельная база данных в кластере Постгреса
Копирование отдельных таблиц или баз данных (говоря о планируемом вами "горячем переезде") возможна только при логической репликации. Мне это видится излишним усложнением по сравнению с вариантом "каждому клиенту свою СУБД + стандартная потоковая репликация в случае необходимости", при котором нет огромных кластеров, отказ которых повлияет на существенное число клиентов.
Даже 100 мсек на таблицах такого размера - это много. Первое, что приходит в голову - СУБД не хватает памяти/проца, либо она не настроена (это касается и нужных индексов).
Судя по вашему куцому объяснению - проблема скорее всего в приложении, а не в базе. Хотя на настройки постгреса я бы тоже обратил внимание. Без логов разговаривать предметно не о чем.