Кирилл Ярошевич

Установи значение параметра onClick у кнопки твоим методом и всё будет ок) Или сделай как предложили уже)

Если:
1. Используете стандартный DrawerNavigation от гугла (support библиотека)
2. Используете для настроек обычное AppCompatActivity
То просто по тапу на пункте меню запускайте Activity:

if (id == R.id.nav_settings) 
  {
    startActivity(new Intent(this, ActivitySettings.class));
  }

public class MainActivity extends AppCompatActivity {

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);

        Button button = (Button) findViewById(R.id.button);
        button.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
            @Override
            public void onClick(View v) {
                Intent intent =new Intent(MainActivity.this, PreferenceScreen.class);
                startActivity(intent);
            }
        });
    }
}

берешь JSOUP и парсишь, проблемы не вижу :)

Нужно переходить на Фрагменты. Drawer прикреплять к основной FragmentActivity и уже в нее подгружать фрагменты так будет корректнее. Иначе при открытии новой Activity нужно как то передать Drawer.
Если же Drawer в др.Activity не нужен тогда только добавь OnDrawerItemClickListener;

out.setOnDrawerItemClickListener(new Drawer.OnDrawerItemClickListener() {
            @Override
            public void onItemClick(AdapterView<?> adapterView, View view, int i, long l, IDrawerItem iDrawerItem) {
        Intent intent = new Intent(this, NewActivity.class);
        startActivity(intent);

            }
        });