Sergey Epifanov

за поворот отвечает это:
transform: rotate(225deg);
соответственно, нужно ловить событие раскрытия списка и добавлять этот стиль стрелке.
здесь есть примеры событий, думаю, найдете подходящее

нужно менять не только классы, но и id элемента.

var triggerBttn = document.getElementById( 'trigger-overlay-modal' )

есть подозрение, что дело может быть в разделителе в путях. Как известно, в Unix и Windows системах разделители разные. Для универсального решения проблемы можно использовать path.sep из модуля path. Попробуйте с его помощью записать пути.
Вот здесь есть пример регулярки, написанной с помощью path.sep

в test задается не относительный путь, а регулярное выражение. Разбирая это регулярное выражение, webpack поймет,к каким файлам нужно применить loader.
Для того, чтобы написать правильное регулярное выражение, нужно знать, какие файлы вам нужно переместить.
например, здесь есть онлайн тестер регулярных выражений, там можно попрактиковаться

воспользуйтесь window.open

интерпретатор js сначала расставляет скобки, согласно приоритету операторов, а потом уже вычисляет выражения. получилось, что скобки расставились вот так (6 || (5 && (x = 1))) , а потом уже интерпретатор понял, что правую часть || выполнять не нужно

можно добавить вот такой роут
{ path: '**', component: AnyComponent }
он должен сработать, когда url не подходит ни под один роут (обычно его используют для показа 404)
в AnyComponent уже читать get-параметр, как Вы делали выше
Редиректа в этом случае быть не должно

отправляйте аякс-запрос к серверу и там делайте установку глобальной переменной.
хотя, конечно, лучше глобальными переменными не пользоваться

В секции отображения авто добавьте в массив $arg ключи meta_key и meta_value
Должно быть примерно так:

$arg = array(
  'post_type' => 'car_cars',
  'meta_key' => 'mark',
  'meta_value' => $_POST['mark']
);
  $auto_q = new WP_Query ($arg);

Про meta_key и meta_value можно почитать здесь: get_posts

Метод serializeArray возвращает не json, а массив объектов (https://api.jquery.com/serializeArray/). Попробуйте превратить forma_array в json-строку с помощью JSON.stringify, и передавать эту строку. Вероятно, сервер падает с ошибкой при попытке прочитать json, который на самом деле не json