Как сделать отправку обратной связи на ajax?

Ajax - собирательное название для всех асинхронных запросов

В общем то говоря, это значит: отправь асинхронный запрос на сервер и жди ответа. Когда получишь ответ обработай его (выведи всплывашку).

Как в vue заменить строку на html тег с аттрибутом vue?

polzovatel_vue, не это не правильно. Надо все таки данные без разметки грузить, или после заполнения шаблона делать как будто фреймворка нет, через addEventListener

Как с помощью JavaScript сделать автоматические арифметические вычисления?

я бы сделал объект с данными и на поля навесил бы сеттеры. Что бы при каждом сеттере происходил пересчет итого

Может есть идеи как воплотить такой вот слайдер в реальность?

newhacke, а блин да, точно)) эт я тупанул. Я бы к слайдеру повесил обработчики и в зависимости от того в какую сторону листаем, то менял бы трансформ транслэйт на картинке влево/вправо.

Как в vue заменить строку на html тег с аттрибутом vue?

polzovatel_vue, а где он рендерится? весь код надо посмотреть, чет не понятно

Как сделать чтобы когда уводишь мышь с сайта, то есть с body всплывало модальное окно только 1 раз?

добавить через замыкание какой нибудь флаг. Типа функция срабатывает если флаг true, если событие сработало, то флагу поменять значение на false и все. Или как вариант навешивать событие таким образом, что бы можно было его снять. И снять его когда оно сработает.

Как в vue заменить строку на html тег с аттрибутом vue?

ну, тогда может как вариант после замены брать новый этот элемент из дома и навешивать нативное событие на него, которое будет вызывать метод во вьюхе?

Может есть идеи как воплотить такой вот слайдер в реальность?

как вариант два слайдера связать через слушатели событий, что бы они друг от друга зависели. В доке очень хорошо это расписано: https://swiperjs.com/api/

Как обратиться к элементу массива в данном случае?

Попробуй вот это переписать на обычный цикл с async функциями вместо синтаксиса с then

friends.items.forEach((item, i) => {
            if (item.city) {
                let geoCode = ymaps.geocode(item.city.title, {results: 1});
                geoCode.then(async res => {
                    let geoObject = await res.geoObjects.get(0);
                    let coords = await geoObject.geometry.getCoordinates();
                    friends.items[i].coords = coords;
                })
            }
        });