garyk5

1. Могут. А могут и не идти. Потому что аксиома, изложенная SyavaSyava Есть целый язык для составления почтовых фильтров, которые могут быть весьма нетривиальным, в простейшем случае - если в теме письма есть слово N или слово М или слово Х - письмо отправляется в Корзину без попадания во Входящие. Ни повлиять на это, ни даже предугадать это никак невозможно.
2. Если под "доменом" Вы имеете в виду доменное имя - да, привязана, ей нужна MX-запись. Если сайт - нет. Использование nichego@nichego.net вместо nichego@gmail.com необязательно, но имеет определенные преимущества - например возможность указания SPF/DKIM, что повышает шансы пройти антиспам, а также повышает рейтинг конторы в глазах потенциального клиента.
3. Что значит проверить на спамность? Если проверить на наличие в черных списках блокировщиков, которыми многие пользуются - SORBS, Spamhaus, SpamCop, Barracuda - то сделать это можно здесь, здесь, здесь и здесь. Проверить наличие фильтров невозможно - фильтр применяется либо в момент доставки письма в локальный почтовый ящик агентом локальной доставки (LDA), либо при запуске почтовой программы из Входящих. Ни в том, ни в том случае они никак не анонят себя.
4. Понятия не имею, так как никогда не использовал бесплатные почтовики для чего-то хоть на толщину фантика от конфеты серьезного - только для спама, приглашений, оповещений - короче для того, чем не жалко поделиться с товарищем майором.

1. Нет, не правда
2. Не обязательно, но в почте на домене есть много преимуществ. Например, возможность прописать DKIM, DMARC и SPF. Сразу появиться возможность отслеживать письма через постмастер и делать рассылки через специальные сервисы (mailchimp, unisender и т.п.). Они позволяют видеть не только статистику открытий, спам, но и другие полезные вещи - перешел ли человек по ссылке, почему не дошло письмо, может адрес не существует или ящик переполнен и т.п.
3. Почту на спамность можно проверить на mxtoolbox.com, но сервис работает только с почтой на домене.
4. Для постмастера нужна почта на домене т.к. владение доменом нужно подтвердить, разместив специальный код на сайте или сделав запись в DNS.
Сейчас, с почтой site@gmail.com, можно отслеживать открыли ваше письмо или нет с помощью специальных расширений для Google Chrome. Например, Streak.