1. Нет, не правда
2. Не обязательно, но в почте на домене есть много преимуществ. Например, возможность прописать DKIM, DMARC и SPF. Сразу появиться возможность отслеживать письма через постмастер и делать рассылки через специальные сервисы (mailchimp, unisender и т.п.). Они позволяют видеть не только статистику открытий, спам, но и другие полезные вещи - перешел ли человек по ссылке, почему не дошло письмо, может адрес не существует или ящик переполнен и т.п.
3. Почту на спамность можно проверить на mxtoolbox.com, но сервис работает только с почтой на домене.
4. Для постмастера нужна почта на домене т.к. владение доменом нужно подтвердить, разместив специальный код на сайте или сделав запись в DNS.
Сейчас, с почтой site@gmail.com, можно отслеживать открыли ваше письмо или нет с помощью специальных расширений для Google Chrome. Например, Streak.