eush77

mashajs.com

Запилена в dle с 9.8 версии.

Вместо var a = new Array(); лучше использовать var a = [];
Вариант

if (a) {
  // todo
}

неправильный, так как a всегда будет инстинным. (Пустой массив - это объект.)

Между первым и вторым вариантом разницы нет. Я использую второй.

Посмотрите данные темы:
Длинная арифметика
Динамическое программирование
Теория графов
Рекурсия, перебор
Сортировка и последовательности
Комбинаторика
Простая математика
Геометрия
Целочисленная арифметика
Математическое моделирование
Жадный алгоритм
Структуры данных
Двумерные массивы

Почитайте о них, разберите каждую. Месяц - слишком мало для подготовки, но если у Вас школьная олимпиада, то еще ничего.

Архив задач и тренировка здесь:
acmp.ru
acm.timus.ru
Codeforces
Это очень полезные ресурсы (системы проверки), в которые входят очень интересные и трудные задачи, как раз предназначенные для олимпиадного программирования.
Ознакомьтесь здесь:
Олимпиадное программирование для новичков

Набор языков программирования в каждой системе разный. Вот некоторые из них:
Набор яп для тимуса
Для acmp.ru

Но для начала почитайте и разберите эти ресурсы/книги про алгоритмы:
algolist.manual.ru
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн K. - Алг...

Ну и конечно, подтяните математику. Без математики далеко не уйдете.

Ответ на Ваш вопрос: для длинной арифметики подошел бы Java.