Вообще это проблема хостера, т.к. BGP AS принадлежит хостеру, но его не печёт, что она не корректно маршрутизируется - это печаль. Советую менять хостера на более адекватного.
Смоделировал твою схему. Вывод: судя по дампу wireshark, ПК вытается сделать ARP для указанного GW, соответственно можно сделать вывод, что без proxy-arp работать не будет. Так же стоит помнить, что это виртуальная среда где все виртуальные среды крутяться на одном физическом, что нарушает работу некоторых протоколов. То что работает в виртуалке, не всегда будет работать в реальных условиях.
Два домена указать не получиться, но можно указать два домена поиска (search).
По хорошему, надо настраивать vrf, что позволить сделать отдельные настройки для каждого из интерфейсов.