Создайте проект, в котором будете хранить наборы connectionString. Создайте проект в котором будет Entity и поставьте ссылку на стринги в другом проекте. Создайте Entity без добавления записей в конфиги(там есть галочка соответствующая), но сохранив куда-нибудь метаданные базы. Далее рядом с файлом Entity добавьте расширение через partial к классу контекста. В нем вам нужен метод Get без параметров, внутри него вы создаете EntityConnectionStringBuilder, в который из проекта с коннекшенами подсунете нужное соединение с базой данных, и метаданные, сохраненные заранее. Метод Get должен возвращать объект контекста, через ваш конструктор.
Примерно так
partial class MyContext{
public static MyContext Get()
{
var t = new EntityConnectionStringBuilder();
return new MyContext(t)
}
public MyContext(EntityConnectionStringBuilder ecsb):base(ecsb)
{
}
}