dmitriy

https://github.com/composer/satis

если координально отличаются ветки например master и develop
то создать два сайта master.site.loc и develop.site.loc
и вести разработку паралельно

второй вариант, при первом работа ведется с хотфиксами

если речь идет о деплое, то:
1. активация pipeline , создание bitbucket-pipelines.yml
2. настройка rsync , деплой на сервер , пример
rsync --exclude=.git -avz -e "ssh -o StrictHostKeyChecking=no" . user@102.13.93.115:site.dir
3. добавление на сервере timeweb в /.ssh/authorized_keys публичный ключ от bitbacket

если переменные окружения из файла цеплять ?

env_file:
        - .env

через hotfix делаем

1. Установите develop основной веткой, в настройках репозитория
2. Используйте Soource Tree с gitflow схемой из коробки, будете работать через меню операций: начать исправление - завершить исправление, начать тематическую ветку - завершить тематическую ветку, и тд. Все проверки и рутинные операции возьмет на себя gitflow.

А как вы тестируете?

тут два варианта поддерживать старую версию или нет
1. если нет то уговариваете обновиться так как новая версия содержит исправление ошибки (и не только эту)
2. если да, то создание ветки от 1.1.56 (последная актуальная версия) типа old/1.1.56 и делать исправления туда тоже, понятно без тегирования

описывать нужно так

{
      "type": "package",
      "package": {
        "name": "amstr1k/yii2-category",
        "version": "0.1",
        "source": {
          "url": "git@bitbucket.org:amstr1k/yii2-category.git",
          "type": "git",
          "reference": "62adc2c8e5ccf5394ff7c2f5cc31db7709cebba5"
        }
      }
    }

а вообще разверните satis для формирования своей карты packages.json для праватных репо

в bitbacket есть pipelines для автодеплоя, почему их не используете ?

Если не хотят переходить то по сути они отказываются от поддержки , пригрозите этим, как вариант можно форкнуть проект и вести два проекта, но придется исправлять одни и те же баги что может быть проблемным, трудозатратным.
И какая причина нежелания минорного обновления, может просто нужно грамотно продать ?

filezilla

gitlab на своем сервере

https://bitbucket.org/product/features/pipelines