Если вам важен js как на фронте, так и на бэке, то попробуйте Adonis JS. Это что-то типо Laravel, только на Node.JS. Вот статейка на хабре: https://habrahabr.ru/post/324220/

Вопрос философский и зависит от различных факторов. Иногда, действительно, легче написать какой-то компонент самому. Особенно если сайт простой. А вот для больших проектов, где требуется производительность, модульность, к примеру, можно и подключить готовую библиотеку.

Как лучше - решать всегда вам. Вы являетесь разработчиком и только вы знаете себя лучше других - сможете написать хороший компонент или нет.

Лично я использую библиотеки для более-менее крупных проектов, которые со временем будут только расширяться. Для одностраничников 50/50. Всё зависит от требуемой скорости разработки.

На мой взгляд вам херню какую-то сморозили.
Если у вас форма без ajax запросов, то точно нужно использовать input type=sumbit, а если же вы отправляете данные через ajax, то можно использовать div с привязкой onclick по js.

Я не в курсе как это у них реализовано, но думаю что примерно так:
1. Сам сайт - это SPA.
2. Плавающее окно сделано через простой html, css (не считая самого функционала)
3. При изменения страницы - состояние окна не меняется, т.е. отображается на том же месте, где и было ранее.

PS: Да, знаю, ответ расплывчатый, если его можно вообще считать ответом. Но возможно, вы сможете додумать что-то лучше и реализовать это.

уберите тег Vue, так как ваша проблема не является проблемой по VueJS.
Прочтите про flex'ы, grid'ы. Должно помочь.