Почему не отрабатывают фильтры в запросе к REST API Bitrix24?

Попробуй все таки указать фильтр:

Как назначить ответственного при отправке формы в битрикс24?

Скорее всего ответственного меняет робот, либо бизнес-процесс при создании лида.
У меня работает. В документации так же указано.

Как назначить ответственного при отправке формы в битрикс24?

Лид создаётся вообще?
Робот, либо БП не меняет ответственного при создании лида?

Почему не записывается email при создании нового контакта в Bitrix24 через REST?

Телефон записывается аналогично:

'PHONE': [ { 'VALUE': '79991234567', 'VALUE_TYPE': 'WORK'} ]

Как в коробочной версии bitrix24 получить связанную задачу к сделке?

DmitriyMarinin, описанным выше способом не получится. Может есть другой, но я так слёту не скажу. Никогда не стояла такая задача.

Как обновить пользовательские поля в событии календаря?

Попробовал ваш вариант с отключением кэширования.
Все стало работать как мне нужно.

Спасибо!

Как через активити "Выполнение произвольного PHP кода" создать новый лид?

Yaraspik, нет. Запись $rootActivity->GetVariable('contactId') берет значение переменной contactId из БП.

Как через активити "Выполнение произвольного PHP кода" создать новый лид?

Yaraspik, true/false - проверять, либо не проверять права на доступ.

Как через активити "Выполнение произвольного PHP кода" добавить товар в сделку, к уже имеющимся, а не перезаписать?

Посмотреть методы, функции, константы класса Битрикс можно здесь - https://bxapi.ru