Внутри Vue data вызывается как функция. Т.е. в момент когда vue готово обратиться к параметрам data там происходит такой вызов:

data()

Соответственно прямое обращение к data объявленному как объект ( data: {} ) вызовет ошибку Uncaught TypeError: data is not a function.

Теперь о втором варианте. data: () => {} - такое объявление подразумевает, что внутри блока {} будут какие условия.
А после вызова функции data() vue ожидает в результате получить объект.

При использовании стрелочной функции нам остается использовать два варианта по сути:
Краткая запись:
data: () => ({ param: 1 }) //Возвращает объект
Расширенная запись:

data: () => {
 return {
     param: 1 
  }
}

Если осталось много неясных моментов то можете попробовать прочитать вот эту статью

correct_date = `${hour}:${min}`;
// correct_date = `${hour}:${min}:${sec}`;

const getTimeString = () => {
    const subbed = new Date();
    const hour = subbed.getHours().toString().padStart(2, '0');
    cosnt min = subbed.getMinutes().toString().padStart(2, '0');
    const sec = subbed.getSeconds().toString().padStart(2, '0');

    return  `${hour}:${min}:${sec}`;
}

let clock = document.getElementById('clock')
setInterval(() => {
    clock.innerHTML = getTimeString();
}, 1000);

Если вы хотите сделать именно так как у вас написано, то вот вариант:

this.inputs.forEach((value, index) => {
  this.$set(this.inputs, index, {...value, label: value.label1})
});

Но я бы сделал по другому. Если мне нужно заменить label на label1 из того же элемента во всех элементах массива.
Можно например отмапить весь массив. И по идее вам даже set не понадобится:

this.inputs = this.inputs.map(item => ({ ...item, label: item.label1 }))

В вашем варианте как я понимаю отрисовка компонента будет происходить всякий раз, когда вы изменяете элемент массива. В моем же варианте отрисовка произойдет один раз, только после того как весь массив будет обновлен.

const elements = document.querySelectorAll( '.nav__link, .open')
elements.forEach(element => {
   element.classList.remove('open')
})