В Woo оформление заказа устроено так -

у вас есть страница "Оформление заказа", на которую с помощью шорткода [woocommerce_checkout] выводится компонент checkout. Это вы можете увидеть, открыв в админке данную страницу.

Компонент checkout "собирается" из нескольких php файлов. Они находятся в каталоге плагина - /wp-content/plugins/woocommerce/templates/checkout. Файлов более 10 шт., каждый из которых отвечает за свою "задачу"

То, как у вас выводятся поля данных, в каком порядке и в каком составе, нужно править в одном или нескольких файлах. В вашем случае нужно смотреть файлы form-billing.php и form-checkout.php. Возможно еще какие-то, бывает по разному.

Важно! В самом каталоге плагина файлы не правим! . Они могут быть переписаны при обновлении плагина. Да и вообще так не принято делать. Нужно в корне вашей темы создать каталог woocommerce, в нем подкаталог checkout и в него скопировать файлы из /wp-content/plugins/woocommerce/templates/checkout. И уже там править.

Как и что править конкретно - тут вопрос всегда индивидуальный. Поэтому, сложно сказать, есть ли плагин под вашу задачу. Обычно это делаем вручную.

Плагин - это "творение" рук конкретных разработчиков. По сути, что они туда заложили, тем мы и пользуемся.
Если разработчики плагина заложили в него возможность "вытаскивать" данные, соответственно, это описано в документации к плагину, есть некий API, хуки, и тогда вы можете их использовать. Если такой возможности разработчиками плагина не заложено - тогда нет. Все зависит от плагина, и что в него заложено.

Плагин WooCommerce Subscriptions - по сути это расширение WooCommerce, поэтому вы можете использовать все те-же хуки WooCommerce. В вашем случае, думаю имеет смысл использовать хук, который срабатывает при смене статуса заказа -

add_filter('woocommerce_order_status_changed', 'my_custom_function', 10, 4 );
function my_custom_function(  $order_id, $old_status, $new_status, $order ) {
 // ... ваш PHP код
}