Кирилл Белый

правильно будет:

robot.on('message', message => {
  if (message.content.toLowerCase() === '!приглашения') {
    var user = null;
    user = message.mentions.members.first() || message.author

    message.guild.fetchInvites()
      .then

    (invites => {
      const userInvites = invites.array().filter(o => o.inviter.id === user.id);
      var userInviteCount = 0;
      for (var i = 0; i < userInvites.length; i++) {
        var invite = userInvites[i];
        userInviteCount += invite.uses;
      }
      message.channel.send(`Вы пригласили ${userInviteCount} пользователей на сервер!`);
    })
  }
})

насчёт robot.login() - метод используется в самой нижней части кода, соответственно, ниже эвентов и всего остального.

используйте метод .fetchInvites():

var user = null;
user = message.mentions.members.first() || message.author

message.guild.fetchInvites()
  .then

(invites => {
  const userInvites = invites.array().filter(o => o.inviter.id === user.id);
  var userInviteCount = 0;
  for (var i = 0; i < userInvites.length; i++) {
    var invite = userInvites[i];
    userInviteCount += invite.uses;
  }
  message.channel.send(`Вы пригласили ${userInviteCount} пользователей на сервер!`);
})

Смотря конечно-же какой из языков (JS или Python) вы знаете.
Если вы изучали JavaScript, выбирайте Discord.JS
Если вы изучали Python, выбирайте Discord.py

Выбирать лучше Вам. Ведь только от Вас зависит, какой на этих библиотеках получится бот.

На самом деле не только эти библиотеки можно использовать, можно использовать Discordia, JDA, Eris и другие.

Как вариант для старта.

if (message.channel.type === "dm") { // если тип канала === ЛС
  if (message.content === "привет") {
    message.channel.send("дароу")
  }
  ...
}