Александр Чуйко

Давай по задачам:
1. "открывается только одно дочернее окно" - я бы рекомендовал наследоваться не от QMainWindow, а от QDialog:

class Dialog(QtWidgets.QDialog, untitled2.Ui_Dialog):

тогда открытое окно будет блокировать родительское и ты спокойно можешь в нем работать (но если вдруг предусматривается работа в двух окнах сразу, то тогда - зачем вообще второе диалоговое окно?! делай две области в родительском и работай там)

2. "дочерней передается переменная" - у класса Dialog, в методе _init передай эту переменную:

def __init__(self, parent, connect_sql): 
    self.connect_sql = connect_sql

и всё, дальше с ней работаешь.

3. "из дочки были доступны свойства виджетов родителя" - для этого ты и передаешь в классе Dialog, в методе _init аргумент parent (= two.Dialog(self) - вот этот self это и есть ссылка на родителя) только не забудь:

def __init__(self, parent, connect_sql): 
    self.parent = parent
    self.connect_sql = connect_sql

и тогда ты сможешь обратиться к объекту родителя

self.parent.label.setText("информация передана из дочернего окна")

(предполагается конечно что у родителя есть объект label = QLable)

НО такая взаимосвязь в корне ошибочна! (читать если скучно... :))


И последний совет при создании файлов интерфейсов (дизайнов) untitled всем объектам давай понятные имена, чтобы потом читая код было ясно для чего этот элемент используется.
self.button_open_dialog.clicked.connect(self.browse) - ну хотя бы как-то так (а в идеале что именно за диалог)

У QTextEdit есть сигнал textChanget, который генерится при изменении текста в текстовом поле. Настройся на него и бери последнюю букву текста, обрати внимание сигнал работает не только при появлении новых символов, но и при их удалении (любое "изменение" в текстовом поле).

Ну если понудеть, то сразу вопрос какие аргументы у состояния? Размер, положение, текст по умолчанию в LineEdit.
1. Простой выход: создай словарь "состояний", в котором по ключу - названию диалогового окна, можно будет хранить данные о его состоянии (этот вариант если программа простая, и хранить состояние нужно только на время работы приложения).
2. Если программа большая, то Евгений говорит правильно создай класс который наследуется от QDialog и при создании его экземпляров (диалоговых окон) каждое из них будет хранить состояние в себе (тоже только на время работы приложения ибо при перезапуске состояния будут дефолтными).
3. Если прям нужно для сохранения перезапуска, то тут будет правильным создать конфигурационный файл .ini .yaml - кто что любит :)) Ну или словарь из п.1. можно просто сохранить с помощью модуля pickle.

"Резиновые" виджеты в PyQT делаются с помощью абсолютного позиционирования, для этого используются QHBoxLayout() и QVBoxLayout() (горизонтальная и вертикальная разметка / лояуты). Если в них закинуть виджет то он автоматически будет соблюдать размеры родительского виджета которому принадлежит BoxLayout.
Вот именно про них стоит почитать в документации.
И для создания UI лучше использовать QT Designer, там довольно удобно включать BoxLayout-ы у родительского виджета.

Немного странная куча кода, учитывая, что class Ui_Form(QMainWindow): - это похоже на конвертированное детище qt designer. И такие файлы принято импортировать в свою программу. Но чтобы как-то запустить этот код необходимо добавить свой класс окна и в нем уже вызывать отрисовку дизайна.
Короче после import menu_rc (чем бы оно не было )) нужно добавить и немного изменить:

class MyWidget(Ui_Form):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.setupUi(self)


if __name__ == '__main__':
    app = QApplication(sys.argv)
    ex = MyWidget()
    ex.show()
    sys.exit(app.exec_())