Рассмотрим дроби - слагаемые данной суммы. Очевидно, что знаменатели могут меняться от
2 до
2k.
Попробуем определить, какие числители будут в дробях со знаменателем
n. Для этого нам надо разложить
n на пары
x и
y всеми возможными способами, учитывая ограничения
1 ≤ x ≤ k,
1 ≤ y ≤ k и взять допустимые значения
x.
Если
2 ≤ n ≤ k, то допустимыми значениями
x будут
1 ... n-1. Для
k+1 ≤ n ≤ 2k допустимыми значениями
x будут
n-k ... k. Таким образом, мы можем записать сумму числителей для каждого знаменателя:
Теперь, с учётом полученной системы запишем, как будет выглядеть полная сумма всех дробей:
Заметим, что если в первой сумме начать суммирование не с
2, а с
1, то сумма не изменится, поскольку добавленное слагаемое равняется нулю. Во второй сумме перенесём
k из пределов суммирования в слагаемое. Получим две суммы с одинаковыми пределами, а значит их можно объединить в одну:
