AntHTML

Если на борту имеется HDMI вход, то без проблем - просто подключаете
Если нет, увы, только если разбирать и вколхоживать другой скалер

Не все матери, особенно встроенки могут вытянуть на себе 3 монитора. 3 разъема - это как варианты подключения, а ядро может рендерить максимум 2 одновременных

Именно для работы я бы TN не рассматривал, TN хорошо тянет в играх из-за отклика, во всем остальном вывозят IPS-подобные.
По глазам у каждого свое виденье, но плюшки вроде Flicker-Free у него есть

Вам нужен активный адаптер DVI-D - VGA их полно у китайцев и на наших радиорынках

Матрица от материнки отключена? Обычно в этом случае по умолчанию используется внешний монитор.
Либо как выше уже написали сброс биос через ClearCMOS. Потому как efi через батарейку может не все настройки скинуть.
Если не поможет - в сервис на подброс матрицы / перепрошивку

Разбирается корпус монитора, вырывается панель кнопок, параллельно малинка запитыватся от бп монитора + при возможности засовывается в нутрь корпуса.
Вывод: Выключить моник без выключения малины нельзя, малину мониторить по онлайну.
По PC сложнее, VGA не умеет отдавать статус монитора, опять же если только убить кнопку или выводить какой тригер в usb

Если есть деньги на новый монитор, а их должно быть не жалко для работы и для глаз, то брать моник 23-27" с *VA или *-IPS матрицей и обязательно матовым экраном. Старый можно отнести в хороший сервис - скорее всего расшатался какой нибудь дроссель или транформатор и подсохли конденсаторы, отсюда и свист это считается мелкой поломкой, потом его можно будет удобно использовать в качестве второго монитора для всяких мессенжеров и второстепенных задач которые удобно держать под глазом.