Спустя пару дней изучения информации и общения с авторами сервера IceCast я-таки нашёл решение.
Может быть оно кому-то будет полезным.

Собственно, я решение оформил в виде dll'ки, которую легко можно подключить к проекту и запустить трансляцию двумя строками кода, но там же есть все исходники и материалы, которые я для этого использовал, так что можно мою библиотеку проходить мимо и просто пользоваться оригиналом.

Ссылка на проект

UDP
Для удобства создал пакет на Nuget

В форме нужно указать action
Он должен смотреть на имя исполняемое скрипта ли же некий абстрактный путь, например

<form action="myscript.php" method="POST">
</form>

<form action="/myscript" method="POST">
</form>

В первом случае всё просто, там получаются данные от формы, создаётся нужный экземпляр класса, обрабатывается в нём неким образом информация и отдаётся обратно.
Во втором случае сложнее. Нужно создать механизм маршрутизации. Для этого настраивается файл ,htaccess где все без исключения запросы перенаправляются на какой-то один, конкретный файл, который будет являться точкой входа в приложение, и уже в нём, в зависимости от выбранного маршрута, менять поведение.
Так будет грамотней, хотя и в разы сложнее.

Если вы только осваиваете ООП в ПХП, вам стоит понимать, что точка входа в приложении всё равно будет описана в процедурном стиле и уже дальше архитектура приложения будет усложняться, обрастая классами

В общем-то единственный способ, который я нашёл - это запуск консольных команд и парсинг их ответа.
Можно, конечно, написать обёртку вокруг этого, но суть останется той же.
Запуск службы:
sc start ServiceName
Остановить службу:.
sc stop ServiceName
Перезапустить службу:
sc restart ServiceName
Узнать статус службы:
sc query ServiceName

Подводным камнем тут будут права. Либо запускать ноду от имени админа, либо устанавливать на службу права, чтоб можно было ей управлять от имени пользователя.