nginx? - тупо проксирование, медленно и грубо. Но вы написали "...загружал сайт с нового хостинга?"
proxy_pass
http://новый_хостинг:80;
rsync? - синхронизация сайтов (дублирование на разных хостингах).
Вышеописанное требует минимум VDS хостинг.
Или простейший 301 редирект на старом хостинге, если домены разные.