ThunderCat

$body_part объявлен, как глобальная переменная в первой строке кода.

Но как закрепить в $body_part данные, чтобы их потом можно было использовать?

$some_temp_horroble_namestyling_array = array();
while ($body_part = mysqli_fetch_array($body_result, MYSQLI_BOTH)) {
       $some_temp_horroble_namestyling_array[] = $body_part;
        echo "body_part[" . $body_part['Part_ID'] . "] = " . $body_part['Name'] . ", ";
    }
var_dump($some_temp_horroble_namestyling_array);

На странице авторизации переход осуществляется так: require('LK.php');

ini_set('error_reporting', E_ALL);
    ini_set('display_errors', 1);

ini_set('error_reporting', E_ALL);  ini_set('display_errors', 1);

var url = 'some.url';
var dataset =  {"x": 5};
$.ajax({
                url: url,
                dataType: "json",
                type: "POST",
                dataset:dataset,
                success: (function (data) {
                    if (data == 'ok') {
                        doCoolStuff();
                        alert ('Yeeei!');
                    }
                    else {
                         alert('Booo!');
                    }
                })
            })

foreach($sql_img as $q) //здесь должна быть открывающая { 
  $img .= '<li  style="background-image: url({theme}/img/'.$sql_img['name'].');" class="overlay"></li> ';
// тут у вас цикл закончился и вернулся к новой итерации, это равноценно закрывающей }
// а так же нахрена вам $q если вы обращаетесь к $sql_img? и нахрена тогда вообще цикл? 
$tpl->set('{img}', $img); // тут вы получили элемент массива $sql_img['name'] в каждой строчке. соответственно будет одна картинка.

isset($_GET["parametr1"]) // проверит наличие переменной, независимо от того, есть ли у нее какое-то значение
empty($_GET["parametr1"]) // проверит отсутствие переменной, либо существование, но со значением NULL, false, 0, array() или "".

делать на основе макро-фреймворка или же потратить пару месяцев и изучить Фреймворк какой-нибудь?

Почему-то обращение на proces.php выдает ошибку 500.