Проблему решил добавлением ключа:
ssh-add -K ~/.ssh/id_rsa

Нашел решение самостоятельно, раз никто о не ответил. Ларчик легко открылся, но не сразу догадался куда нажать ).

Вообщем надо было перезагрузить скрипты, отвечающие за вывод вариаций с помощью jQuery функции getScript(). В моем случае это скрипты двух плагинов: Woocommerce и Variation Swatches

return $.ajax({
			url:  '/wp-admin/admin-ajax.php',
			data: data,
      cache: true,
			beforeSend: function(xhr) {
				$('.content').css('opacity', 0);
			},
			complete: function(response) {
				$.getScript(add_to_cart_js_url); //переменная с URL  скрипта объявлена в functions.php
				$.getScript(variation_swatches_js_url);  //переменная с URL скрипта объявлена в functions.php
        $('.content').css('opacity', 1);
			},
			success: function(data) {
				$('.content').html(data);
			},
		});

Functions.php:

<?php
add_action('wp_footer', function (){
	?>
	<script type="text/javascript">
		var add_to_cart_js_url = '<?=plugins_url("/woocommerce/assets/js/frontend/add-to-cart-variation.min.js");?>';
		var variation_swatches_js_url = '<?=plugins_url("/variation-swatches-for-woocommerce/assets/js/frontend.js");?>';
	</script>
	<?php
	}
});