причина: переменная new_window умирает сразу как заканчивается функция new_form() (почему? во славу Сатаны конечно!)
Пути решения:

1) создать какую нибудь глобальную переменную. Но глобальные переменные это плохой тон (незнаю почему) :

new_window = None
def new_form():   
    global new_window
    new_window = uic.loadUi("interface2.ui")
    new_window.setWindowTitle("New form")
    new_window.show()

2) создать переменную глобальный массив окон (так делаю я - это всё ещё "плохой тон" но зато потом можно циклом разом удалить все создаваемые окна например...) :

мой_список_окон = []
def new_form():   
    global мой_список_окон
    new_window = uic.loadUi("interface2.ui")
    new_window.setWindowTitle("New form")
    new_window.show()
    мой_список_окон.append(new_window)

3) назначить new_window дочерю main_window (идиологически правильный вариант):

def new_form(parent):   
    new_window = uic.loadUi("interface2.ui")
    new_window.setWindowTitle("New form")
    new_window.show()
    new_window.setParent(parent)

import test2
main_window.pushButton.clicked.connect(lambda: test2.new_form(main_window))

4) new_window должна быть переменной того обьекта который гарантировано не будет удалён (незнаю насчёт идиалогии... все варианты правильные. ):

def new_form(parent):   
    parent.new_window = uic.loadUi("interface2.ui")
    parent.new_window.setWindowTitle("New form")
    parent.new_window.show()


import test2
main_window.pushButton.clicked.connect(lambda: test2.new_form(main_window))

res = requests.get('http://URL/'+trek+".html")

orly?
ну ей богу написали хотя бы "yandex.ru/index.html" для примера.

без объяснения причин

ну пожалуйста пользуйтесь pycharm - есть бесплатная редакция. Он честно открывает консоль для каждой запущенной программы. В которую честно пишется причина. И которая, Самое главное, не закрывается после ошибки.

куски кода надо делать минимальными, НО запускаемыми. например такими:

import sys
import requests
import os
from PyQt5.QtWidgets import QTextBrowser
from PyQt5.Qt import QApplication
from PyQt5.Qt import QThread

trek = "index"
myapp = QApplication(sys.argv)
myapp.textBrowser = QTextBrowser()

class ExperementalThread(QThread):
    def run(self):
        if os.path.exists("temp/"+trek+".html"):  # Если страница уже была ранее загружена
            with open("temp/"+trek+".html") as w:
                myapp.textBrowser.setHtml(w.read())  # ни разу не вылетело
        else:
            res = requests.get('http://yandex.ru/'+trek+".html")
            res.encoding = 'utf-8'
            with open("temp/"+trek+".html", "w") as ri:
                ri.write(res.text)
            myapp.textBrowser.setHtml(res.text)  # И здесь

thread = ExperementalThread()
myapp.textBrowser.show()
thread.start()
myapp.exec()

и ошибка соотв. будет QObject: Cannot create children for a parent that is in a different thread.
что значит что метод setHtml пытается для себя создать отдельный поток. А потоки из потоков создавать запретил сам батюшка Ленин ( цитата от ██.██.19██г. ).

Значит придётся использовать сигналы и слоты.
я создал свой класс MyQTextBrowser с наследованием QTextBrowser и сигналом signal_load_html. Который в свою очередь связал с setHTML.

# coding=utf-8

import sys, requests, os                            # импортировали,
from PyQt5.Qt        import QApplication, QThread   # импортировали,
from PyQt5.QtCore    import pyqtSignal              # да не
from PyQt5.QtWidgets import QTextBrowser            # выпереимпортировали.

trek = "index"                                      # ну в самом деле надо же указать чему равна ваша переменная.
myapp = QApplication(sys.argv)                      # я угадал?
                                                    # обязательно делаем отступы перед каждым классом
class MyQTextBrowser(QTextBrowser):                 # создаём класс и наследуем QTextBrowser
    signal_load_html = pyqtSignal(str)              # назначаем сигнал (сигнал принимает значение str (строки) )
                                                    # тут тоже отступ
    def __init__(self):                             # переназначаем метод создания объектов
        super().__init__()                          # наследуем/выполняем QTextBrowser.__init__(self)
        self.signal_load_html.connect(self.setHtml) # тут связываем наш сигнал с setHtml
myapp.textBrowser = MyQTextBrowser()                # ну и создаём вообщемто обьект нашего класса MyQTextBrowser
                                                    # обязательно делаем отступы после каджого класса.
                                                    # обязательно делаем отступы перед каждым классом
class ExperementalThread(QThread):                  # названия придумываем на ходу
    def run(self):                                  # init не нужен сразу run
        if os.path.exists("temp/"+trek+".html"):    # Если страница уже была ранее загружена
            with open("temp/"+trek+".html") as w:   # открываем наш фаил в папке temp
                # myapp.textBrowser.setHtml(w.read())  # вылетает? у меня кстати нет, но я читер :)
                myapp.textBrowser.signal_load_html.emit(w.read())  # ни разу не вылетело.
        else:                                       # люблю когда много коментариев в коде
            res = requests.get('http://yandex.ru/'+trek+".html") # "Люблю говорить - это помогает думать."
            res.encoding = 'utf-8'                  # -- Томас Стернз Элиот
            with open("temp/"+trek+".html", "w") as ri: # когда этот код уже кончится?
                ri.write(res.text)                  # тут пусто потому что в оригинале у вас был "URL" а не yandex
            # myapp.textBrowser.setHtml(res.text)   # И здесь
            myapp.textBrowser.signal_load_html.emit(res.text)  # ни разу не вылетело
                                                    # обязательно делаем отступы после каждого класса.
thread = ExperementalThread()                       # создаём наш поток
myapp.textBrowser.show()                            # ах да - самое главное показать окно. Иначе ничего не произойдёт
thread.start()                                      # запускаем поток
myapp.exec()                                        # Ой, всё!()

p.s.
Вообще setHtml не метод QTextBrowser. Это метод из QTextEdit (который QTextBrowser наслеует. ) Сам же QTextBrowser создан для того чтобы самостоятельно загружать и показывать страницы с интернета. (по урлу.)