Rsa97

Это сетевая карта со встроенным шестипортовым свитчем TC6097P-6. К одному порту подключена сетевая карта Realtec, которую видит компьютер. Остальные пять портов - внешние порты свитча.
P.S. Судя по даташиту, это даже не свитч, а хаб с общим доменом коллизий на все порты.
P.P.S. Да ещё и порты без автокроссовера, надо джамперами переключать.

/20 - не адрес, а сеть, имеющая 4096 потенциальных адресов (-2 для сети и броадкаста). Начнём выделять адреса для подсетей, предварительно отсортировав их по убыванию количества компьютеров. Подсети будем выбирать так, чтобы их размер был на 4 больше, чем количество компьютеров (адрес самой сети, броадкаст, адреса для свитча и роутера):

183.118.32.0/20 = 183.118.32.0-183.118.47.255
A | 425 | 512 | /23 | 183.118.32.0/23 = 183.118.32.0-183.118.33.255
E | 353 | 512 | /23 | 183.118.34.0/23 = 183.118.34.0-183.118.35.255
C | 341 | 512 | /23 | 183.118.36.0/23 = 183.118.36.0-183.118.37.255
H | 308 | 512 | /23 | 183.118.38.0/23 = 183.118.38.0-183.118.39.255
G | 253 | 512 | /23 | 183.118.40.0/23 = 183.118.40.0-183.118.41.255
D |  95 | 128 | /25 | 183.118.42.0/25 = 183.118.42.0-183.118.42.127
F |  86 | 128 | /25 | 183.118.42.128/25 = 183.118.42.128-183.118.42.255
B |  32 |  64 | /26 | 183.118.43.0/26 = 183.118.43.0-183.118.43.63

Для связи роутеров можно добавить ещё одну подсеть /28 или 8 подсетей /30. Роутеры со свитчами объединяются транками и отдельных адресов для связи между собой не требуют.

По лицензии на компьютере с десктопной версией Windows одновременно можно работать только с одним рабочим столом (неважно, локальным или удалённым). Если подключаться нужно для помощи текущему пользователю - VNC/TeamViewer/AmmyyAdmin ...

wiki.mikrotik.com/wiki/Transparently_Bridge_two_Ne...

Вариант 1. На всех компьютерах в сети прописать статический маршрут на 192.168.1.0.
Вариант 2. Прописать его же, но на новом шлюзе.
Вариант 3. На новом шлюзе и микротике настроить OSPF, пусть сами разбираются.

Бесплатно сможете использовать только *NIX. Win системы для школ хоть и идут по дешёвой академической лицензии, но всё равно только сам сервер стоит около 7000, а к нему ещё нужны пользовательские лицензии.
Если найдётся выделенный компьютер под Linux, то на нём можно одновременно развернуть интернет-шлюз (firewall, squid, squidGuard, lightSquid) и файловое хранилище (Samba3). Можно попробовать поднять и контроллер домена на Samba4, но сам его не использовал и про стабильность ничего сказать не могу.
Удалённое подключение можно организовать штатными средствами Windows по RDP (удалённый рабочий стол), для подключения из дома нужен фиксированный ip-адрес или динамический DNS в школе и проброс порта на шлюзе. Но при подключении по RDP отключается локальный рабочий стол. Для просмотра того, что происходит на компьютере без полного перехвата управления подойдёт бесплатная TightVNC.
Как защиту от баловства школьников посмотрите в сторону систем заморозки состояния, например DeepFreeze, Shadow Defender. Они после перезагрузки возвращают сохранённое состояние компьютера.
Добавьте на все компьютеры административного пользователя. Ограничьте права остальных пользователей до уровня "Пользователь". Покопайтесь в групповых политиках, очень много можно запретить через них, только при отсутствии домена настраивать придётся каждый компьютер отдельно.

В оптимуме - один компьютер под *NIX для интернет-шлюза и два компьютера под WinServer с контроллерами Active Directory (основной и резервный). На одном из них WSUS для автоматического обновления Windows.
1, 2. Расшареный каталог на одном из Windows серверов или Samba на *NIX.
3, 6. Программы удалённого управления - TeamViewer, Remote Admin, бесплатная - TightVNC.
4. Файрвол на шлюзе и прокси-сервер со списком белых адресов, например Squid.
5. Либо расшаренные папки, либо переносимый профиль Active Directory с ограничением объёма файлов.
7. Настройка прав, обычный пользователь не должен работать с правами выше "Пользователь". Можно через Active Directory.
8. SMS или позвонить по сотовому.

Начать лучше с поиска средств, поскольку удовольствие не из дешёвых, два Windows Server и минимум Windows Pro на компьютер каждого пользователя (Windows Home в домен не включить). Затем поднимать домен, вводить в него все компьютеры под Windows, заводить учётки и раздавать права. Поднимать WSUS. Ставить шлюз, прокси со связкой к AD, определять список разрешённых адресов. Поднимать файловый сервер на одном из Windows Server или на *NIX (Samba), привязывать к домену, создавать папки и распределять права.