Rsa97

Создать массив X[1..N]
Заполнить его X[i] = i
Сделать много (например, N) перестановок случайных элементов X[rand(1..N)] <=> X[rand(1..N)]
Взять M первых элементов

Стандартом не оговорено, а значит каждый движок может использовать свой алгоритм. Главное соблюдать стандарт на вызов и результат.

343 - это уже не три бита. Три бита - это числа от 0 до 7.
Из вики:

В практических реализациях для a и b используются числа порядка 10¹⁰⁰ и p порядка 10³⁰⁰.

Соответственно, ключ будет порядка 10³⁰⁰ или 2¹⁰⁰⁰.

Тут основная проблема в том, что для компьютера, при использовании чисел одинарной точности, 4.637₁₀ = 100.101000110001001001101₂ = 4.6369996071₁₀, то есть точно посчитать количество десятичных знаков после запятой невозможно. Приблизительно можно считать беря дробную часть числа. Если эта часть близка к нулю (r < epsilon) или к единице (1-r < epsilon), то, с какой-то вероятностью можно сказать, что мы посчитали длину дробной части. Если нет - то умножаем дробную часть на 10, увеличиваем счётчик и проверяем сначала.

Для разложения числа на множители проверяют не все варианты подряд, а только простые числа. Таблицу можно подготовить заранее или генерировать в программе. Для разложения числа N₀ надо проверять простые числа до N₀^1/2 включительно. После каждого найденного множителя текущее значение N_i делится на него и перебор простых чисел начинается сначала.
Получается разложение вида
N₀ = p₁^n₁·p₂^n₂·...·p_k^n_k, где p_i - все простые числа от 2 до N₀^1/2.
Количество различных делителей K получается как количество комбинаций степеней
K = (n₁+1)·(n₂+1)·...·(n_k+1)
На примере:
N₀ = 72
Простые числа до 72^1/2: p_i = [2, 3, 5, 7]
Инициализируем счётчики степеней: n_i = [0, 0, 0, 0]
72 на 2 делится, n₁ = 1, проверяем 72/2 = 36
36 на 2 делится, n₁ = 2, проверяем 36/2 = 18
18 на 2 делится, n₁ = 3, проверяем 18/2 = 9
9 на 2 не делится
9 на 3 делится, n₂ = 1, проверяем 9/3 = 3
3 на 2 не делится
3 на 3 делится, n₂ = 2, 2/3 = 1, закончили поиск.
Получили массив степеней: n_i = [3, 2, 0, 0]
Количество делителей: K = (3+1)·(2+1)·(0+1)·(0+1) = 12

1. Записать маршрут в базу данных, например MySQL умеет работать с географическими данными.
2. Определять отклонение от маршрута (ST_Distance), если больше заданного - оповещать.

В общем случае задача решения не имеет. В частном, когда основание трапеции параллельно одной из осей, есть бесконечное множество решений.

Для начала надо определиться, что значит "одинаковые слова". Если важен смысл слов, то это непросто (идти, иду, пойду, шёл - одно и то же слово).
Если слово берёте просто как цепочку символов, то всё проще. Открываете файл через open(name, O_RDONLY | O_BINARY), пишете подпрограмму, которая читает файл посимвольно, пропускает всё до первой буквы, читает пока не встретится небуквенный символ, возвращает слово. В основном цикле получаете из подпрограммы слово, записываете его в словарь. Если пишете на чистом C, то словарь придётся реализовать самому, например как дерево.
Затем также читаете второй файл и ищете слова в собранном словаре.

Вот вам слепленный на скорую руку вариант на Javascript

a = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];
for (d1 = 1; d1 <= 9; d1++) {
  a[d1]++;
  for (d2 = 0; d2 <= 9; d2++) {
    a[d2]++;
    for (d3 = d1; d3 <=9; d3++) {
      a[d3]++;
      for (d4 = (0 == d2 ? 1 : (d1 == d3 ? d2 : 0)); d4 <= 9; d4++) {
        a[d4]++;
          val1 = d1*10+d2;
          val2 = d3*10+d4;
          val = val1*val2;
          b = [a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7], a[8], a[9]];
          b[val%10]--;
          b[Math.floor(val/10)%10]--;
          b[Math.floor(val/100)%10]--;
          b[Math.floor(val/1000)]--;
          diff = 0;
          for (i = 0; i < 9; i++)
            diff |= b[i];
          if (0 == diff)
            console.log(val1, val2, val);
        a[d4]--;
      }
      a[d3]--;
    }
    a[d2]--;
  }
  a[d1]--;
}

Как-то вы перемудрили, рекурсия здесь совершенно не нужна.
Для начала создаём очередь, включаем в неё исходную точку.
Пока очередь не пуста берём из неё точку, всем её доступным незаполненным соседям записываем длину пути и помещаем их в очередь. Можно прервать цикл и раньше, по достижении заданной точки.
Обратным ходом восстанавливаем путь.

Консоль ничего не знает. В простейшем случае (если набрана одна команда без пайпов и перенаправления потоков):
Когда вы набираете строку и нажимаете Enter сначала из строки отделяется первая подстрока до пробела (или конца строки, если пробелов нет). Остаток строки будет передан выполняемой команде как аргументы.
Затем проверяется, не является ли эта подстрока внутренней командой шелла. Если да, то выполняется эта команда.
Если это не внутренняя команда и не указан полный путь к файлу, то идёт поиск файла с таким именем в каталогах, перечисленных в строке окружения PATH. Если файл найден и у пользователя есть права на его запуск, то он запускается.
Если указан полный путь (например, /usr/bin/perl), то поиск не производится, идёт только проверка на права запуска.

PS. Если речь о досовском/виндовом cmd, то он ищет файлы добавляя расширения .bat, .cmd, .exe, если расширение не указано явно. Кроме того, в нём поиск начинается с текущего каталога, а затем уже по переменной PATH.