Rsa97

Смотря для чего это нужно. Если это набор данных, которые только хранятся в БД и никакого поиска по ним нет, то храните как вам удобнее. Если же это, например, идентификаторы строк другой таблицы и они нужны в JOIN'ах и WHERE, то хранить их надо отдельными строками связанной таблицы.

А смысл что-то передавать для `table_name`? Триггер то висит на конкретной таблице, так что значение всегда будет одно и то же, можно использовать константу.

Правильный первичный или уникальный ключ, INSERT ... ON DUPLICATE KEY UPDATE, триггер BEFORE UPDATE

IMHO, тут у вас сам подход неверный. Как будет выглядеть такой вывод в случае, например, 20 языков?
Если список языков расширяемый, то таблица должна иметь структуру (`lang_code`, `key`, `translation`) с PRIMARY KEY(`lang_code`, `key`), тогда легко добавить язык, получить список языков и выбрать все фразы на одном языке.
Для названий языков делается отдельная таблица (`lang_code`, `lang_name`), связанная по `lang_code`.

$language = 'english';
$stmt = $pdo->query("SELECT `key`, `{$language}` AS `translation` FROM `language`");
$translation = [];
while ($item = $stmt->fetch(PDO::FETCH_ASSOC)) {
  $translation[$item['key']] = $item['translation'];
}

Дальше просто используете $translation['solved']

Использовать PDO или mysqli с плейсхолдерами.

Зависит от типа учёта в магазине. Если учитывается каждый экземпляр оборудования, то и отдельную строку придётся заводить для каждого экземпляра. Если же учёт идёт обобщённый, то достаточно общего количества и количества в аренде. Дополнительно можно завести таблицу с записями о выдаче и возврате оборудования и счётчик арендованного менять триггером AFTER INSERT.

LEFT JOIN + IFNULL

Сделать `parent` полем типа ENUM.

Как правило, в случае ошибки функция, которую вы вызываете, возвращает определённое значение или выбрасывает исключение, в зависимости от используемого языка и библиотеки.
Если вы работаете просто в консоли, то ошибка будет выведена на экране.