Rsa97

Лень вспоминать C, держите вариант конечного автомата проверки римских цифр на JS.

// Матрица переходов конечного автомата
// -1 - допустимое конечное состояние
// null - недопустимое состояние
const dka = [
  [-1, 1, 5, 4, 10, 9, 15, 14], // 0
  [-1, 2, 5, 4, 10, 9, 15, 14], // 1
  [-1, 3, 5, 4, 10, 9, 15, 14], // 2
  [-1, null, 5, 4, 10, 9, 15, 14], // 3
  [-1, 8, 8, 7, null, null, null, null], // 4
  [-1, null, null, 6, 10, 9, 15, 14], // 5
  [-1, null, null, 7, 10, 9, 15, 14], // 6
  [-1, null, null, 8, 10, 9, 15, 14], // 7
  [-1, null, null, null, 10, 9, 15, 14], // 8
  [-1, null, null, 13, 13, 12, null, null], // 9
  [-1, null, null, null, null, 11, 15, 14], // 10
  [-1, null, null, null, null, 12, 15, 14], // 11
  [-1, null, null, null, null, 13, 15, 14], // 12
  [-1, null, null, null, null, null, 15, 14], // 13
  [-1, null, null, null, null, 18, 18, 17], // 14
  [-1, null, null, null, null, null, null, 16], // 15
  [-1, null, null, null, null, null, null, 17], // 16
  [-1, null, null, null, null, null, null, 18], // 17
  [-1, null, null, null, null, null, null, null], // 18
];

// Алфавит
const alphabet = 'MDCLXVI';

// Разбивает строку на лексемы
// (номера символов в алфавите, начиная с 1)
// для отсутствующих символов возвращает 0
const lexer = (str) => str.split('').map((l) => alphabet.indexOf(l) + 1);

// Проверяет корректность числа в римской записи
const check = (str) => {
  const lexems = lexer(str);
  let state = 0;
  let idx = 0;
  while (true) {
    const lex = lexems[idx] ?? 0;
    state = dka[state][lex];
    if (state === null) {
      return false;
    }
    if (state === -1) {
      return  idx === str.length;
    }
    idx += 1;
  }
}

Классический массив - это непрерывная область памяти, заполненная данными в порядке возрастания индексов. Чтобы вставить элемент в массив необходимо перенести часть уже имеющихся элементов, освободив место под вставляемый. При вставке в случайное место матожидание количества переносимых элементов будет n/2, соответственно сложность алгоритма оценивается в O(n). Добавление элемента в конец массива имеет сложность O(1), если нам известен текущий размер и мы не выходим за пределы памяти, выделенной для хранения массива. Если памяти недостаточно, то придётся выделить новый блок, перенести туда весь массив и освободить старый блок памяти. Эта процедура тоже занимает O(n).

Вставка в список зависит от того, есть ли у нас указатель на то место, куда надо вставить новый элемент. Если нет, то сначала необходимо выполнить поиск, который оценивается в O(n). Сама вставка, при этом, не требует перемещения других элементов и всегда выполняется за O(1).

Берём матрицу, размером с изображение, заполняем нулями. Отмечаем единицами точки, принадлежащие линиям контура.
Добавляем в очередь точку, заведомо лежащую внутри контура и ставим в неё единицу.
Забираем точку из очереди, добавляем в очередь соседей этой точки (слева, справа, сверху и снизу), в которых ещё не стоит единица, и ставим в них единицы. Повторяем, пока очередь не опустеет.

Интерполировать. Как именно - зависит от того, как используются автомобили.
Если предположить, что пробег каждый день одинаковый, то берём общий пробег за интервал и делим на кличество дней в интервале. Затем либо сохраняем полученный средний пробег для каждого дня интервала, либо вычисляем пробег на конец месяца и сохраняем помесячно.
Если, например, весь пробег только в будни, то, соответственно, вычисляем количество рабочих дней в интервале и делим на него. При раскидывании по дням, опять же, записываем нулевой пробег в выходные и средний в будни.

Рассмотрим список всех перестановок в лексикографическом порядке. Этот список содержит N! перестановок. При этом его можно разбить по первому элементу на N непрерывных групп по (N-1)! перестановок.
Таким образом, определить первый элемент перестановки с номером M (начиная с 0) можно как К₁=⌊M/(N-1)!⌋ (также, начиная с 0). Внутри группы перестановка будет иметь номер M'=M mod (N-1)!.
Вычеркнем найденный элемент из списка и повторим вычисления, пока не найдём все элементы.

Пример:
Элементы: (a, b, c, d).
Перестановка M=11 (начиная с 0).
Список (a, b, c, d). K₁ = ⌊11/3!⌋ = 1. Элемент 'b'. M' = 10 mod 3! = 5.
Список (a, c, d). K₂ = ⌊5/2!⌋ = 2. Элемент 'd'. M' = 5 mod 2! = 1
Список (a, c). K₃ = ⌊1/1!⌋ = 1. Элемент 'c'. M' = 1 mod 1! = 0
Список (a). K₄ = ⌊0/0!⌋ = 1. Элемент 'a'.
Получили перестановку (b, d, c, a).

$result = array_map(
    function ($x) {
        return str_pad(dechex($x), 4, '0', STR_PAD_LEFT);
    },
    range(0, 0xffffff, 1)
);

Внутренняя сумма раскладывается как 1 + 2 + 3 + ... + n - i = (1 + n - i) * (n - i) / 2

Какой угодно. Раз у задачи нет цели на минимизацию чего-либо, значит можно просто кидать один предмет с метра, двух, трёх и т.д., пока не разобъётся.

Длина волны в RGB.
Взято из https://www.johndcook.com/wavelength_to_RGB.html

const w = 640 // Длина волны
let red, green, blue;

if (w < 380 || w > 781) {
  [red, gren, blue] = [0, 0, 0];
} else if (w < 440) {
  [red, green, blue] = [(440 - w) / 60, 0, 1];
} else if (w < 490) {
  [red, green, blue] = [0, (w - 440) / 50, 1];
} else if (w < 510) {
  [red, green. blue] = [0, 1, (510 - w) / 20];
} else if (w < 580) {
  [red, green, blue] = [(w - 510) / 70, 1, 0];
} else if (w < 645) {
  [red, green, blue] = [1, (645 - w) / 65, 0];
} else {
  [red, green, blue] = [1, 0, 0];
}

let factor;
if (w < 380 || w > 781) {
  factor = 0;
} else if (w < 420) {
  factor = 0.3 + 0.7 * (w - 380) / 40;
} else if (w < 701) {
  factor = 1.0;
} else {
  factor = 0.3 + 0.7 * (780 - w) / 80;
}

const gamma = 0.8;

const R = (red > 0 ? 255 * Math.pow(red * factor, gamma) : 0);
const G = (green > 0 ? 255 * Math.pow(green * factor, gamma) : 0);
const B = (blue > 0 ? 255 * Math.pow(blue * factor, gamma) : 0);

const color = `rgb(${R}, ${G}, ${B})`;
console.log(color); // rgb(255, 32.763138565028974, 0)

Однозначного решения тут нет, одно и то же количество игр может быть при различном количестве команд.
Например, 3 и 4 команды дадут по 3 игры, 18 и 40 команд - по 45 игр.
Количество команд можно представить как k = 2^xy, где x - целое неотрицательное число, y - нечётное положительное число.
Тогда количество игр будет n = (2^x - 1)y + (y - 1)y/2 = 2^xy - 3y/2 + y²/2
Отсюда можно получить
2^x+1 = 3 - y + 2n/y
Поскольку решение нужно в целых числах, то y - один из делителей числа 2n.
Значит, перебирая делители мы должны найти такой нечётный делитель, при котором правая часть уравнения даст в результате степень двойки.
Например, n = 171
2n = 342
Нечётные делители: 1, 3, 9, 19, 57, 171
Значения правой части: 344, 114, 32, 2, -48, -166
Степени двойки: 32, 2
Соответствующие значения x: 4, 0
Количество команд: 144, 19

Не 2i3j5k, а 2ⁱ×3^j×5^k
Это означает, что при разложении числа на простые множители мы получим только 2, 3 и 5.
1 = 2⁰×3⁰×5⁰
3 = 2⁰×3¹×5⁰
15 = 2⁰×3¹×5¹
30 = 2¹×3¹×5¹
60 = 2²×3¹×5¹
90 = 2¹×3²×5¹
и т.д.