Refguser

Как правило у аккумуляторов для ноутбуков несколько контактов, а в корпус встроены различные схемы различного назначения.
Поэтом просто так двухпроводным "12 В свинцовым аккумулятором" запитать не получится.

Если же использовать свинцовый аккумулятор вместо БП, то если ноутбуку нужно 12, то можно. Но только если свинцовый будет подходящий не только по напряжению (у разных ноутбуков может быть разное входное напряжение: от 9V до 18V), но и току.

Любой БП с напряжением 3V и током не меньше потребляемого.

Хотелось бы иметь компактный вариант.

Что может быть компактнее родных аккумуляторов..
К тому же их можно заменить на более лучшие.

Иногда припой вообще не плавится, а детали греются

Это говорит о низкой температуре жала паяльника и долгом времени нагревания.

Основное правило пайки: максимально сократить время нагрева. При этом температура жала должна быть такая, чтобы припой плавился за доли сек, но не перегревал его и всё вокруг.
Если выпаиваешь не SMD и микросхемы, то даже отсос не нужен. А вот что обязательно нужно, так это пинцет. И желательно не для выщипывания бровей, а хороший, чтобы тепло отводил.
Типа такого (см на толщину и конструкцию губок, а не маркировку) .

Но вообще в арсенале нужно иметь несколько разных пинцетов.

1. Нужно понимать, что заземление нужно не для защиты электроники, а для защиты людей. (электронике оно в большинство случаев вообще противопоказано)

2. Использовать УПС вне зависимости от кач-ва электричества - очень здравая идея. Кроме того не помешает поставить УЗО в сеть.

но периодически могу получить от ноута или некоторых вещей (например, от кончика зарядки, вставленной в розетку, но не каждый раз) небольшой удар тока.

Это либо статика, либо у тебя приборы неисправны и пробивают на корпус.