Тут js вообще не нужно, из самого примитивного: поместите кнопку в самый верх, и спозиционируйте абсолютом в нужное вам место. После чего можно приметить любое свойство к любому элементу ниже этой кнопки:
.drinks__block-btn:hover ~ .drinks__block-title {
color: white
}
И drinks__block не самое удачное название, судя по приставке
__block вы в глубине души понимаете, что это блок, который можно назвать к примеру card и ваш код будет выглядеть намного приятнее:
card__btn, card__title и т.д..
<div class="drinks__card card">
<button class="card__btn">ORDER NOW </button>
<div class="card__body">
<img class=card__img" src="images/drinks-img-1.png" alt="">
<h3 class="card__title">ESPRESSO</h3>
<p class="card__text">Without Milk</p>
<p class="card__price">300 ₽</p>
</div>
</div>