var test = document.getElementById("test").value
про vue вам видно рано еще, так как для этого нужно понимать простой JS, там не так все просто.
Но ссылка вот https://vuejs.org/v2/guide/forms.html
Эм, средствами html js?
Может у вас на сайте CMS какая нибудь? Вот для нее и ищите модуль.
Если JS хотите просто город определить, то можно так к примеру
create-react-app открывает создает свой сервер отличный от laravel. Подключить их не возможно.
Используйте laravel в качестве API.
Технологии RestAPI, CORS