Если я правильно все понял и у вас есть три поля (важных для вопроса) - message, user_one, user_two, причем если это сообщение от user_one, то поле user_two = null. А значит решение будет выглядеть так
while ($row_message = mysqli_fetch_assoc($result_message_send)) {
if($row_message['user_one']) {
echo "<nobr>Вы - " . $row_message['message'] . "<br></nobr>";
} else {
echo "<nobr>Он - " . $row_message['message'] . "<br></nobr>";
}
}
А в целом, я бы советовал вам внести коррективы в таблицу - убрать поле user_two, а user_one заменить на user_id, и сделать таблицу со списком юзеров. Потому как если у вас будет 50 юзеров, вам придется добавлять под каждого еще одно поле в таблице и менять каждый раз код вывода, а так у вас будет храниться список сообщений с айди автора из таблицы с пользователями.
Если планируете сделать диалоги между разными пользователями (либо приватные сообщения в общем чате), то надо будет еще одну таблицу сделать с полями id, user_1, user_2, и в таблицу с сообщениями добавить поле dialog_id, чтобы понимать, какое сообщение к какому диалогу относится. А в таблице с диалогами вы будете видеть участников диалога. Ну это так, мысли вслух.