NovikovNik

Логику, я так понимаю, по обработке данных будет выполнять само приложение?
В твоем случае с двумя приложениями это не правильно.

Приложение должно быть только консолью (тонкий клиент).
Вся логика по получению данных (со стороны), расчетных задач должна выполняться на сервере.
Клиенты только отправляют команды и отображают результат.

Если работаешь с большим количеством данных - то не нужно их все тянуть на клиента для расчетов и отправлять назад результаты.

Синхронизация может быть достигнута путем периодического обновления состояния клиента, либо, если клиенты взаимодействуют через сокеты с сервером, то сервер может уведомить клиента об изменившемся состоянии мнгновенно.

Есть т.н. готовые сервера API. Так называемые MBaaS

Тут приведен большой список.
https://habrahabr.ru/post/277979/

Для работы с картами - есть соответствующее API внутри Android, разумеется, если установлены Google Maps. Или через API maps.yandex.ru, maps.google.com, openstreet.

Чат/передачу файлов можно реализовать без сервера.
Но гораздо удобнее с сервером. Также есть соответствующие MBaaS.

Тут есть 2 варианта:

1. В первую очередь делать API, с которым будет работать как и сайт так и приложение. Но тут следует учесть что сайт будет делать гораздо сложнее, ибо все данные будут подтягиваться запросами к АПИ после загрузки страницы, и прочее. В принципе, для SPA (single page application), или сайта с сложной фронтенд логикой это и так придется делать и такой подход предпочтительнее, но если у вас сайт простенький, это лишь создаст неудобства. Соответсвенно, чтоб сделать такой сайт нужен и квалифицированный фронтендщик. В принципе, это правильный подход.

2. Делать сайт и отдельно API. Но тут с ростом сложности проекта будут возрастать затраты на поддержку сайта и апи одновременно, учитывание различий в их логики, и прочее.

Я бы начал делать сайт отдельно, API отдельно, ибо на старте это быстрее. Если проект попрет и появятся необходимость к усложнению, созданию приложений на другие платформы - то потихоньку переделал на 1 вариант.

Что касается технологий - то да: REST для начала самое то, да и большинство бекэнд фреймворков уже имеют поддержку для него. Скорее всего и не только для начала, но опять таки, зависит от проекта.