Михаил

Но их нужно вычислить уже после того, как данные будут готовы (запрос долгий, несколько секунд)

Если это сделано через computed то оно само пересчитается(т.к. используется в шаблоне) как только нечто, от чего computed зависит, изменится

Эти SPA приложения в основном предполагают что это приложение вот так и разрабатывается, на js+vue, а с бэкендом общается по API.
Сами подумайте, это же статическое приложение, собираемое webpack-ом. PHP туда ничего не генерит.
Вот тут человек интересовался, может вынесете что то.

Есть профильные форумы, на них раздел Работа, а у вас что за стек требуется?

Когда это один путь, с разными параметрами, т.е. тот же компонент, то вызывается не этот хук, а beforeRouteUpdate

А что за beforeRouteProducts? Имелось ввиду beforeRouteEnter?

Вот это не надо:
$search = Html::encode($search);
, это только при выводе в браузер

А в консоли нет ошибок?
В строгом режиме this внутри вашей функции будет undefined.
Попробуйте сменить на стрелочную функцию:
setInterval(() => {

А английский вы выучили за все это время?

Вот эти Single File Components (с расширением vue) предполагается подключать только через сборщики.

Pet проект очень полезен.
1) Когда что то новое изучаешь, не всегда же есть возможность сразу за деньги начать на нем новый проект, поэтому pet проект подойдет. И на нем как раз можно в бою уже проверить на практике прочитанную ранее теорию, руку понабивать.
2) Pet проект хоть как то мотивирует им заниматься, ты себе как бы внушаешь, что это нужно сообществу (если это опенсорс расширение) или своему резюме
3) На Pet проекте можно изучать те вещи, которые для тебя ранее оказывались в сторонке, например тестирование или ООП
4) Pet проект подойдет и для того чтобы не забывать ранее изученное. Например учил ты долго-долго какую то вещь, а работу на ближайшие X месяцев нашел вообще по другому. Вот чтобы не вылетело совсем, можно в pet проекте это практиковать

Тонкость в том что профессия забирает у программиста все силы и время и поэтому в других сферах обычно ты не шаришь, и идей на такой проект не так много, особенно идей, которыми захочется заниматься.

Каким образом можно загрузить стразу все четыре картинки, чтобы браузер менял их мгновенно?

Погуглите по фразе "javascript предзагрузка изображений".
Суть что в начале работы, вы просто создаете в коде элемент img и ему src вручную ставите на вашу картинку, браузер соответственно эту картинку загрузит и она уже будет в кеше, т.е. быстро будет доставаться

Поиск это большая задача.
Без специального ПО, как то Sphinx или ElasticSearch, будет сложно сделать качественно.
Например в поиске этого сайта вводите: "сделали поиск", "сделаем поиск", оно выдаст результаты со словами "сделать", т.е. формы слова учитывает

Посмотрите команду REPLACE, синтаксис как у INSERT.