Nazarevsky

Не очень понятный вопрос...
В теории - да, можно другим серверным языком изменять хтмл файл и сохранить его в таком виде. На практике это лютая хрень, так как проще хранить данные отдельно, а представление отдельно, по тому как представление может меняться, или вообще отсутствовать (например в API).

Если речь идет про локальный файл и изменения его самого из себя, то нет, средствами современных браузеров его (слава яйцам) нельзя сохранить локально из кода, иначе можно было бы сохранять на произвольную машину абсолютно любые файлы, чего я лично не пожелал бы никому. Только ручками, но сделанные изменения при этом не сохранятся.

Как фрик-проект первый вариант вполне рабочий, а вариант предложенный Владимир Коротенко будет работать и локально, правда храниться все будет не в самом файле, то есть переносимость данных нулевая, по этому говорить о хранении "как в базе данных" тут не приходится.

Вам нужно выставить свойство TopMost у своей формы в true.

Правой кнопкой мыши find references и удаляете эту строку. Другой путь просто удалить эту функцию и компилятор ругнётся на ошибку, переходите туда и снова удвляете. Третий в дизайнере выбираете кнопку и в свойствах смотрите обработчик, там просто удаляете. Все эти способы равнозначны , есть ещё правда

В соответствии с принципами ООП и разработки ПО в целом тащить в используемый компонент (Classes.cs) зависимость от использующего (Form1.cs) - в общем случае идея плохая.
Что можно предпринять:

1. В Classes.cs сделать метод с параметром (ref PictureBox picturebox) и вызывать его из Form1.cs - тут вы дочернему компоненту отдаете ссылку на контрол, не очень хорошо т.к. Classes.cs становится прибит к WF.
   
2. В Classes.cs сделать метод возвращающий нужное изображение (Bitmap, Image, etc) и вызывать его из Form1.cs - тут вы уже делаете только отрисовку картинки в Classes.cs, а Form1.cs принимает решение что с этой картинкой делать.