Mrrl

Довольно просто решить за O(N^3).
Пусть координаты k-го прямоугольника - (x1[k],x2[k],y1[k],y2[k]).
Берёте все x1,x2 (их 2*N штук), сортируете, выкидываете одинаковые. Это проекции вершин на ось X. Обозначим полученный массив A.
Аналогично с y1,y2 - получается массив B (тоже длиной не больше 2*N).
Теперь перебираем прямоугольники C=[A[p],A[p+1]]*[B[q],B[q+1]] для всех p,q. Ни один из них не пересекается сторонами исходных прямоугольников, так что если центр C лежит в одном из исходных прямоугольников, то весь прямоугольник принадлежит объединению, если нет - то не имеет с ним общих внутренних точек. Суммируем площади всех прямоугольников, принадлежащих объединению, и пишем ответ.
Можно соптимизировать до O(N^2). Насчёт O(N*log(N)) не знаю.

Сначала лучше перейти в систему координат, в которой стороны прямоугольника параллельны координатным осям, а центр - в точке (0,0): пусть при преобразовании (x,y) -> (p*x+q*y+r,-q*x+p*y+s) прямоугольник переходит в abs(X) <= A, abs(Y) <= B.
Пусть (X1,Y1) и (X2,Y2) - координаты вершин отрезка после преобразования.
Если max(X1,X2) < -A || min(X1,X2) > A || max(Y1,Y2) < -B || min(Y1,Y2) > B, то не пересекается: отрезок находится за одной из сторон прямоугольника.
В противном случае условием пересечения, насколько я понимаю, будет
abs(X1*Y2-Y1*X2) <= abs(A*(Y2-Y1)) + abs(B*(X2-X1))
Тщательно не проверял, но шансы, что формула правильная, хорошие.

Чтобы работать в США, нужна, как минимум, виза Н1. Для её получения работодатель должен убедить иммиграционные власти, что Вы - человек, обладающий нужными качествами, какие в США (за ту же зарплату) найти трудно. И здесь диплом (а лучше, диплом кандидата наук) будет очень полезен.

Придётся научить распознаватель выполнять операции над константами. Тогда и -1, и 2-1 будут константами, вычисленными на этапе компиляции, а (-x) и x-1 - результатом применения различных операций "минус" (которые не обязаны быть как-то связаны между собой).

Иногда на каждую характеристику лучше своя функция.
Иногда, если набор характеристик в каком-то смысле однородный (проекции модели на три координатные плоскости, число красных/зелёных/синих рёбер...) можно какой-то признак характеристики передать параметром - тогда одна функция будет вычислять любую из нескольких характеристик.
Иногда, если несколько характеристик удобно вычислять вместе, и они логически связаны между собой (и с большой вероятностью потребуются вместе) - объединить их в структуру и заставить функцию заполнять её всю.
Иногда - когда для вычисления характеристик уже не надо лезть в потроха объекта, а можно воспользоваться другими характеристиками, и, возможно, какими-нибудь итераторами, а кроме того, вычисление само по себе трудоёмко и требует сложных алгоритмов - вынести это вычисление в отдельный класс.

Сначала учитываем 3*N^2 треугольников, у которых вершина с прямым углом лежит на одной из координатных осей (или вообще в точке (0,0)).
Теперь посчитаем все остальные треугольники.
Пусть (a,b) - координаты вершины с прямым углом, 0 < a <= N, 0 < b <= N.
Если c=НОД(a,b), a1=a/c, b1=b/c, то оставшаяся вершина должна иметь координаты (x,y)=(a+t*b1,b-t*a1), где t - ненулевое целое число.
Должны выполняться условия 0 <= x,y <= N. Перепишем их в виде условий на t:
-a/b1 <= t <= (N-a)/b1, -(N-b)/a1 <= t <= b/a1 (заметим, что a1, b1 больше нуля, так что делить можно). Учитывая, что t должно быть целым, оно лежит на отрезке от
t0 = -floor(min(a/b1,(N-b)/a1))
до
t1 = floor(min((N-a)/b1,b/a1))
И, поскольку запрещённое значение 0 всегда принадлежит этому отрезку, получаем, что число треугольников с вершиной (a,b) равно t1-t0.
Перебираем все точки (a,b), считаем t1-t0 и суммируем.
Всё. Сложность N^2*log(N), основное время тратится на вычисление НОД.
Если надо быстрее - надо будет думать. Скорее всего, надо будет перебирать взаимно простые пары (a1,b1), считать, сколько точек попало в перекошенный квадрат (переведённый в базис (a1,b1), (-b1,a1)), искать для них формулу и суммировать. Может быть, получится, может быть, нет. Какого порядка N?

В любом случае, для этого нужно, чтобы длина первого файла была кратна размеру кластера. Тогда, при наличии физического доступа к диску, шансы могут быть ненулевыми.
Если файлы для задачи были промежуточными, то, возможно, проще было бы ввести промежуточный тип - "многофайловый файл", который сам разбирается, из какого файла что читать. Там надо переопределить метод ReadBytes() (и всякие мелочи вроде Seek, Position, Length...) Заодно и в других программах может пригодиться.

Попробуйте так:

static bool IsAction(Delegate x){
    return x.Method.ReturnType==typeof(void);
  }

Правда, я не все возможные делегаты проверял.

Лучше брать дробное случайное число:
double r=frand()*total_chance_sum.
(как сегодня называется frand() я не знаю - должно выдавать случайное число от 0 до 1). Условие current_sum <= r не нужно, оно выполняется всегда.
Если хотите повысить шансы тех, кто делал большие ставки - можете возвести эти ставки в квадрат (т.е. если цены - 0.5, 1, 2, то шансы на победу будут 1/21, 4/21, 16/21). Не знаю, хорошо ли это.

Вообще, не очень понятно, как работает
current_sum += items[i].chance
если сумма целая, а ставка дробная. Она не ругается на потерю точности?

Зависит от очень многих факторов:
- сможете ли жить в выбранной стране вообще, с учётом того, что законы и обычаи могут сильно отличаться от наших? Если да - будет ли это достаточно комфортно? Сможете ли там найти круг общения для себя?
- есть ли семья, дети? Если да - берёте ли семью с собой, и каково им там будет?
- остаётся ли кто-нибудь, кто будет заботиться о родителях, когда они состарятся? Перевести их с собой может не получиться. А получится ли и захочется ли вернуться - неизвестно.