Создай директорию
public в репозитории и положи все файлы сайта туда, после чего, поменяй корневую директорию в конфиге веб-сервера, дописав вконце
public.
Получишь полноценную git репу без
.git в корне сайта.
Например:
Путь к репе:
/www/sitename/
В директории лежат:
.git
public
Веб-сервер указывает на
/www/sitename/public/