А выбирает цвет кто? Компонент parent? Или кто-то выше?
Если второй случай, тогда, полагаю, пропсы в любом виде, или inject.
Иначе, такой вопрос: Текст может быть только красным? Или существует вероятность что понадобится другой цвет? Если второй вариант, тогда, полагаю, кастомное свойство будет уместно:
<template>
<div class="parent">
<Child1 class="child1">
<Child2 class="child2" :style="'--text-color: ' + textColor">
</Child2>
</Child1>
</div>
</template>
Иначе, просто добавляйте класс, так как вам удобно исходя из конкретного случая.
P.S. С БЭМ не работал, поэтому рекомендации могут не соотносится с данной методологией.