Nik

У nuxt двухсторонний рендеринг, когда запрашиваем страницу напрямую - рендер происходит на сервере, а у node.js нет объекта window
используйте context.route

data (context) {
      return {
        curTrail:  context.route.route.path.split('/')[2]
      }
    },

Если app-header опирается именно но роутер и только на роутер (то есть другие компоненты не будут непосредственно влиять на показ каких-то элементов), то можно сделать очень красиво и изящно через computed, что-то типа такого:

computed: {
    headerTab() { return this.$route.path === '/result'; }
}

Если предполагается что-то более сложное, то можно аналогичным образом воспользоваться полем this.$route.meta (подробнее)

Если же переменная должна зависеть от каких-то плохо предсказуемых внутренних состояний компонентов, то либо использовать подход с событиями, либо уже переходить к тяжёлой артиллерии - брать vuex и опираться на state. Но если вы думаете, что этот способ подходит для данной задачи, то я почти уверен, что вы делаете что-то не так :)

Нужно просто задать default значения в компоненте: https://jsfiddle.net/wostex/63t082p2/14/

<script src="https://unpkg.com/vue/dist/vue.js"></script>

<div id="app">
<child></child>
</div>

Vue.component('child', {
  props: {
    card: {
      type: Object,
      default: function() {
      	return {
          id: 0,
          name: 'default name',
          title: 'default title'
      	}
      }
    }
  },
  template: `<p>{{ card.id }} |  {{ card.name }} | {{ card.title }}</p>`
});

new Vue({
	el: '#app',
});

window.initPreloader = function() {
    var smiley = TweenMax.to(".preloader", 2, { backgroundPosition:"-4270px 0px", ease:SteppedEase.config(61) });
    TweenMax.to(smiley, 2.2, {progress:1, repeat:-1, ease: Power1.easeOut});
    window.initPreloader = function(){};
};

В js между свойствами объекта и его методами нет никакой разницы. Собственно, метод - это свойство, содержащее функцию. А к свойствам, помимо доступа через точку (o.foo) можно получить доступ и через квадратные скобки (o['foo']). Польза этого в том, что в квадратные скобки можно передать переменную и таким образом реализовать доступ к свойству по имени, которое определяется в процессе выполнения.
Скомбинировав эти знания, получаем следующий код:

$('.filter').removeClass('active')[mobile ? 'slideUp' : 'fadeIn']();