АртемЪ

Часто происходит что-то, от чего компьютер перезагружается

Нужно понять что происходит, и почему это происходит, а потом уже принимать меры и устранять проблему.
При чем тут ИБП?

ИБП ставят для того чтобы не терять работу при внезапном отключении электроэнергии.
Если у вас часто отключают электроэнергию, и из за этого вы теряете данные с которыми работали - вам разумеется нужен ИБП.

Нужно ли брать ИБП или можно ограничиться чем-то дешевле?

Если описанные вами проблемы вызваны пропаданием электроэнергии в сети, значит нужно. Если нет - не нужно.

Все очень просто - банальная физика, школьный курс.
Бесперебойник у вас мощностью 500ватт. Напряжение в бортовой сети - 12вольт.
Максимальный ток идущий через прикуриватель 500/12=42Ампера.
А если учесть что КПД бесперебойника не идеально, и какая то часть теряется то по идее он может достигать 50Ампер.

Прикуриватель автомобиля рассчитан как правило на ток 10-15Ампер. При превышении тока сгорит предохранитель, если предохранитель не соответствует номиналу, что бывает, то вместо предохранителя сгорает проводка, зачастую вместе с самим автомобилем.

Поэтому подключайте напрямую к аккумулятору, хорошо изолированным проводом, и этот провод должен обязательно иметь предохранитель около клеммы аккумулятора.

Конечно потребляемый ток зависит не от номинала бесперебойника, а от реальной нагрузки подключенной к нему.
Если нагрузка будет небольшой, этак на 50-100ватт, то можно запитать и от прикуривателя, но лучше не рисковать.

Сколько ампер выдает прикуриватель?

Сколько угодно.
Подключите небольшую нагрузку и он выдаст несколько миллиампер.
Замкните контакты медным проводом - и он выдаст сотни ампер.

Характеристики несколько странные 14ватт 0,8 ампер 24 вольт. Или ампераж для блока питания указан?
Ну фиг с ними, считаем 14ватт*14часов=196ватт/часов
Считаем аккумулятор 196/24=8,9 Т.е вам нужен 24в аккумулятор минимум на 10а/ч.
Ну или два 12вольт аккумулятора каждый на 20а/ч.
К аккумуляторам - умное зарядное устройство.
Если будете использовать свинцово кислотные аккумуляторы, то не забывайте что с них можно безопасно брать не более 50% емкости. Т.е если вам нужны 20а/ч то аккумулятор должен быть как минимум 40а/ч.
Если не свинцовые а литиевые, то тогда желательно помнить что литий нельзя заряжать при отрицательных температурах.

Еще несколько смущает тот факт что вы утверждаете про наличие питания на линии освещения 10- часов есть, а 14часов нет. Это для лета или для зимы? Есть вероятность что летом питание на линии освещения будет подаваться меньшее время.

Самое лучшее в этой ситуации - поменять роутер на исправный.
Еще лучше поменять на роутер имеющий Watchdog для профилактики подобных проблем.

Можно конечно найти решение и для вашего роутера, их множество, но надо понимать что цена этих решений как минимум в несколько раз превышает цену среднестатического SOHO роутера.