АртемЪ

Процессор - core i7
Памяти чем больше тем лучше не менее 16гб
Диск однозначно SSD.
Это главное, остальное по бюджету, экран смотреть самостоятельно.
Вообще для таких задач ноутбук не лучший выбор, лучше нормальный десктоп.

В практически не бывает более двух слотов под память поэтому памяти максимум 16.
Из четырехядерных процессоров только core i7. Процессор значительно слабей своего десктопного аналога.
Интерфейс бывает только SATA, ибо IDE морально устарел, выпускался в прошлом столетии, найти его можно в музее. Между SATA2 и SATA3 никакой разницы практически нет.
Поставить SSD можно практически в любой ноут.

По поводу ноутбука по ссылке - в принципе неплох, кроме экрана.
Экран вообще отвратительный. Просто несерьезно. 1600*900
Двухядерный i5, памяти надо будет добавлять планку, или две, в зависимости от того сколько стоит в данный момент, можно выкинуть DVD привод и поставить SSD. В общем еще 250$ вложить и будет вполне себе рабочая лошадка.

Ноутбуки не апгрейдят а выкидывают и покупают новые.
Все что можно сделать с этим железом - поставить SSD.
Всех проблем не решит, но работать станет приятней, интерфейс более отзывчивый будет.

Каким образом WI-FI роутер будет передавать данные на телевизор, если тот умеет принимать WI-FI ?
А если умеет, тут уже не только от роутера зависит скорость и качество - сам телевизор, роутер, чистота эфира, расстояние радиолинка.

Может есть какие-то получше варианты передать изображение с ПК на ТВ?

-hdmi

В багаж и никаких проблем.
Только перед перевозкой желательно бы снять и упаковать отдельно массивные детали при их наличии - кулер, видеокарту, т.к при транспортировке они могут отломиться с куском системной платы.
Так же неполохо бы снять и упаковать HDD.

Посмотрите свойства беспроводного сетевого подключения.
Судя по симптомам у вас там прописан статический адрес, и неправильно указан шлюз и DNS.

Если нужен точный диагноз - выполните в командной строке команду ipconfig /all и выложите вывод сюда.