GavriKos

А метод в методе это законно с т.з. джавы?
Вынесите foo за main, скорее всего в этом причина.

Вы упустили проверку дискриминанта на то, является ли он положительным.
При приведенных коэффициентах он отрицателен, и уравнение не имеет решений.

Кстати еще у вас дикая мешанина из использования членов класса и аргументов.
Намного правильнее задавать коэффициенты через конструктор, если что.

Ну вообще если у вас есть RGB-цвет, то сделать из него черно белый просто - нужно и в R и в G и в B положить усредненное значение.
Т.е. либо считаете среднее арифметические RGB и кладете его во все каналы. Либо - с использованием коэффициентов (вроде бы таких - Y = 0.2125 R + 0.7154 G + 0.0721 B).

Но обычно в играх это делают шейдером. С той же логикой.

Самое правильное для игры - не использовать gif-анимацию вообще. Анимируйте например sprite sheet-ом. И используйте движки, где уже все такие базовые проблемы решены.

Ну а так писать на чистой джаве и Draw вообще жесть и зло. Хотя бы сделайте двойную буфферизацию - рисуйте в картинку в память, а потом одним проходом натягивайте эту картинку на весь экран. Уже будет лучше.

Нет. Хеш-функции (по крайней мере те, что обычно используются) необратимы.
Есть конечно варианты, но назвать их "преобразованием" нельзя.

Прописать нужную версию в PATH и системных переменных

Наследуемый и наследник должны иметь одинаковый прототип, т.е. одинаковое имя, входные параметры и возвращаемый тип данных.
У вас возвращаются разные типы.
Выход в лоб - возвращать базовый тип, например.

А зачем вам объявлять переменную a вне if-ов? Объявляйте внутри, в случае факториала интом, в случае корня - даблом. И читайте ввод соответственно.

Если уж так нужна снаружи - то вам надо ее объявлять максимально допустимым типом для всех операций - т.е. даблом, а уже в частных случаях (факториал) - приводить к инту (с проверкой, а вдруг там все таки не целое).