Как вариант
в контейнере с postgres добавляем supervisor + cron, супервайзеру говорим отслеживать cron, cron пускаем через супервайзер с флагом -f, добавляем в crontab команду для бекапа сразу при запуске контейнера через RUN echo или как удобно будет.
Супервайзер будет отслеживать состояние cron и не давать ему упасть, ну а далее все как по намеченному - по расписанию будет пускаться задание на бекап и заливание куда нужно. Такой вариант у меня стоит на одном контейнере где необходимо данные обноввлять.

Втророй вариант слать в контейнер команду через крон на хосте

docker exec -it container_name /path/to/backup_scipt.sh

Тут нужно в контейнере хранить скрипт который будет делать все что вам необходимо.

Оба варианта нужно тестить.

ИМХО - JS, Angular, Css, html5, composer = минимальный набор, ну и неплохо бы понимание азов backend, docker, virtual+vagrant дабы не выглядеть идиотом при работе на проекте с тестовой средой. У нас не далее как в пятницу попрощались в фронтом который величал себя разработчиком, но не смог развернуть тестовую среду, не имел понятия как залить себе на локалку дамп тестовой базы, подняли ему окружение на дев серваке - человек я так понимаю вообще потерялся так как дев под *nix и нет виндовых утилиток для работы с git, редакторов и прочеих вещей, после код-ревью оказалось что он не в курсе что такое composer и в свою етку пушнул кучу сторонних либ которые загадили ветку.... В итоге как я понимаю руководство и этот человек поняли что не подходят друг другу.
Опять же имхо - надо бы знать немного больше чем просто 2 предмета из одной области, если есть надежды на попадание в нормальный проект.