Как вариант
в контейнере с postgres добавляем supervisor + cron, супервайзеру говорим отслеживать cron, cron пускаем через супервайзер с флагом -f, добавляем в crontab команду для бекапа сразу при запуске контейнера через RUN echo или как удобно будет.
Супервайзер будет отслеживать состояние cron и не давать ему упасть, ну а далее все как по намеченному - по расписанию будет пускаться задание на бекап и заливание куда нужно. Такой вариант у меня стоит на одном контейнере где необходимо данные обноввлять.
Втророй вариант слать в контейнер команду через крон на хосте
docker exec -it container_name /path/to/backup_scipt.sh
Тут нужно в контейнере хранить скрипт который будет делать все что вам необходимо.
Оба варианта нужно тестить.
